Cy On considère les points $$ \mathrm{A}(6 ; 5), \mathrm{B}(2 ;-3) $$ et $$ \mathrm{C}(-4 ; 0) $$. 1. Calculer les distances $$ \mathrm{AB}, \mathrm{BC} $$ et AC . 2. En déduire la nature du triangle ABC . 3. Calculer le périmètre et l'aire de ce triangle.

Question

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**1. Calcul des distances $$ \mathrm{AB}, \mathrm{BC} $$ et $$ \mathrm{AC} $$**

Pour calculer la distance entre deux points $$ \mathrm{P}(x_1 ; y_1) $$ et $$ \mathrm{Q}(x_2 ; y_2) $$, on utilise la formule :
$$
d(\mathrm{P}, \mathrm{Q}) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
$$

- **Distance $$ \mathrm{AB} $$ :**
  $$
  \mathrm{A}(6 ; 5), \quad \mathrm{B}(2 ; -3)
  $$
  $$
  \mathrm{AB} = \sqrt{(2 - 6)^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8,94 \, \text{unités}
  $$

- **Distance $$ \mathrm{BC} $$ :**
  $$
  \mathrm{B}(2 ; -3), \quad \mathrm{C}(-4 ; 0)
  $$
  $$
  \mathrm{BC} = \sqrt{(-4 - 2)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{(-6)^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \approx 6,71 \, \text{unités}
  $$

- **Distance $$ \mathrm{AC} $$ :**
  $$
  \mathrm{A}(6 ; 5), \quad \mathrm{C}(-4 ; 0)
  $$
  $$
  \mathrm{AC} = \sqrt{(-4 - 6)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(-10)^2 + (-5)^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11,18 \, \text{unités}
  $$

**2. Nature du triangle $$ \mathrm{ABC} $$**

Examinons les longueurs des côtés :
$$
\mathrm{AB} = 4\sqrt{5}, \quad \mathrm{BC} = 3\sqrt{5}, \quad \mathrm{AC} = 5\sqrt{5}
$$
- Les trois côtés sont de longueurs différentes, ce qui indique que le triangle est **scalène**.
- Vérifions s'il est rectangle en utilisant le théorème de Pythagore :
$$
(\mathrm{AB})^2 + (\mathrm{BC})^2 = (4\sqrt{5})^2 + (3\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 + 9 \times 5 = 80 + 45 = 125
$$
$$
(\mathrm{AC})^2 = (5\sqrt{5})^2 = 25 \times 5 = 125
$$
Puisque $$ (\mathrm{AB})^2 + (\mathrm{BC})^2 = (\mathrm{AC})^2 $$, le triangle est **rectangle** en $$ \mathrm{B} $$.

**Conclusion :** Le triangle $$ \mathrm{ABC} $$ est un **triangle scalène rectangle**.

**3. Calcul du périmètre et de l'aire du triangle $$ \mathrm{ABC} $$**

- **Périmètre :**
  $$
  P = \mathrm{AB} + \mathrm{BC} + \mathrm{AC} = 4\sqrt{5} + 3\sqrt{5} + 5\sqrt{5} = 12\sqrt{5} \approx 26,83 \, \text{unités}
  $$

- **Aire :**
  Puisque le triangle est rectangle en $$ \mathrm{B} $$, l'aire peut être calculée en prenant les deux côtés adjacents comme base et hauteur :
  $$
  \text{Aire} = \frac{1}{2} \times \mathrm{AB} \times \mathrm{BC} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{5} \times 3\sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = \frac{60}{2} = 30 \, \text{unités carrées}
  $$

**Résumé :**
1. $$\mathrm{AB} = 4\sqrt{5} \approx 8,94$$, $$\mathrm{BC} = 3\sqrt{5} \approx 6,71$$, $$\mathrm{AC} = 5\sqrt{5} \approx 11,18$$
2. Triangle scalène rectangle
3. Périmètre $$ P = 12\sqrt{5} \approx 26,83 $$ unités, Aire $$ = 30 $$ unités carrées
**Calculs et Conclusion :** 1. **Distances :** - $$ \mathrm{AB} = 4\sqrt{5} \approx 8,94 $$ unités - $$ \mathrm{BC} = 3\sqrt{5} \approx 6,71 $$ unités - $$ \mathrm{AC} = 5\sqrt{5} \approx 11,18 $$ unités 2. **Nature du Triangle :** - Scalène et rectangle en $$ \mathrm{B} $$ 3. **Périmètre et Aire :** - Périmètre $$ \approx 26,83 $$ unités - Aire $$ = 30 $$ unités carrées

Cy On considère les points \( \mathrm{A}(6 ; 5), \mathrm{B}(2 ;-3) \) et \( \mathrm{C}(-4 ; 0) \). 1. Calculer les distances \( \mathrm{AB}, \mathrm{BC} \) et AC . 2. En déduire la nature du triangle ABC . 3. Calculer le périmètre et l'aire de ce triangle.

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