ALUMNO/A Celia lópet Sarlra \( 1^{\circ} \) (3 puntos) Calcula las siguientes integrales: 0 a) \( \int e^{2 x} \cdot \operatorname{sen} x d x \quad \) \& cíclica

Claro, resolvamos la integral: \[ \int e^{2x} \cdot \sen x \, dx \] **Paso 1: Aplicar integración por partes** Recordemos que la fórmula de integración por partes es: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Asignemos: - \( u = e^{2x} \) ⇒ \( du = 2e^{2x} \, dx \) - \( dv = \sen x \, dx \) ⇒ \( v = -\cos x \) Aplicando la fórmula: \[ \int e^{2x} \sen x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx \quad \text{(1)} \] **Paso 2: Resolver la nueva integral \(\int e^{2x} \cos x \, dx\)** Nuevamente, aplicamos integración por partes: Asignemos: - \( u = e^{2x} \) ⇒ \( du = 2e^{2x} \, dx \) - \( dv = \cos x \, dx \) ⇒ \( v = \sen x \) Aplicando la fórmula: \[ \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sen x - 2 \int e^{2x} \sen x \, dx \quad \text{(2)} \] **Paso 3: Sustituir la integral de (2) en (1)** Reemplazando la integral obtenida: \[ \int e^{2x} \sen x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2 \left( e^{2x} \sen x - 2 \int e^{2x} \sen x \, dx \right) \] Simplificando: \[ \int e^{2x} \sen x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \sen x - 4 \int e^{2x} \sen x \, dx \] **Paso 4: Resolver para la integral desconocida** Denotemos \( I = \int e^{2x} \sen x \, dx \). Entonces: \[ I = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \sen x - 4I \] Sumando \( 4I \) a ambos lados: \[ 5I = e^{2x} (2 \sen x - \cos x) \] Finalmente, despejando \( I \): \[ I = \frac{e^{2x}}{5} (2 \sen x - \cos x) + C \] **Respuesta Final:** \[ \int e^{2x} \sen x \, dx = \frac{e^{2x}}{5} \left( 2 \sen x - \cos x \right) + C \] donde \( C \) es la constante de integración.