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Find the indefinite integral of \( f(x) = 6x^2 + 5x - 3 \) with respect to \( x \).

Ask by Coleman Page. in Turkey
Nov 21,2024

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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\( 2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}-3x + C \)

Solución

Calculate the integral \( 6x^2 + 5x - 3 \). Evaluate the integral by following steps: - step0: Evaluate using formulas and rules: \(\int 6x^{2}+5x-3 dx\) - step1: Use properties of integrals: \(\int 6x^{2} dx+\int 5x dx+\int -3 dx\) - step2: Evaluate the integral: \(2x^{3}+\int 5x dx+\int -3 dx\) - step3: Evaluate the integral: \(2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}+\int -3 dx\) - step4: Evaluate the integral: \(2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}-3x\) - step5: Add the constant of integral C: \(2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}-3x + C, C \in \mathbb{R}\) The indefinite integral of \( f(x) = 6x^2 + 5x - 3 \) with respect to \( x \) is \( 2x^{3}+\frac{5x^{2}}{2}-3x + C \), where \( C \) is an arbitrary constant.

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The Deep Dive

To find the indefinite integral of \( f(x) = 6x^2 + 5x - 3 \) with respect to \( x \), we integrate each term separately: \[ \int f(x) \, dx = \int (6x^2) \, dx + \int (5x) \, dx - \int (3) \, dx \] Calculating each integral: 1. \( \int (6x^2) \, dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3 \) 2. \( \int (5x) \, dx = 5 \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{5}{2}x^2 \) 3. \( \int (-3) \, dx = -3x \) Combining these results gives: \[ \int f(x) \, dx = 2x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C \] where \( C \) is the constant of integration. So, the indefinite integral is: \[ \int (6x^2 + 5x - 3) \, dx = 2x^3 + \frac{5}{2}x^2 - 3x + C \]

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