5. На столе экзаменатора 20 билетов Чему равна вероятность того, что a) первый экзаменующийся вытянет билет с однозначным номером; б) второй с двузначным; в) оба возьмут билеты с однозначными номерами.

**Рассмотрим условие задачи.** На столе находится 20 билетов, которые пронумерованы от 1 до 20. Из них билеты с однозначными номерами – это номера от 1 до 9 (всего 9 билетов), а билеты с двузначными номерами – это номера от 10 до 20 (всего 11 билетов). **a) Вероятность того, что первый экзаменующийся вытянет билет с однозначным номером.** Общее число билетов – 20, число билетов с однозначными номерами – 9. \[ P_1 = \frac{9}{20} \] --- **б) Вероятность того, что второй экзаменующийся вытянет билет с двузначным номером.** Так как билеты извлекаются без возвращения, необходимо рассмотреть два случая в зависимости от того, какой билет взял первый экзаменующийся: 1. Если первый экзаменующийся вытянул билет с однозначным номером (вероятность \( \frac{9}{20} \)), то из оставшихся 19 билетов билетов с двузначными номерами остаётся 11. Вероятность для второго экзаменующегося в этом случае: \[ P_{2|1\text{ однозначный}} = \frac{11}{19} \] 2. Если первый экзаменующийся вытянул билет с двузначным номером (вероятность \( \frac{11}{20} \)), то остаётся 10 билетов с двузначными номерами из 19. Вероятность для второго экзаменующегося в этом случае: \[ P_{2|1\text{ двузначный}} = \frac{10}{19} \] Используя формулу полной вероятности, получим: \[ P_2 = \frac{9}{20} \cdot \frac{11}{19} + \frac{11}{20} \cdot \frac{10}{19} \] Выполним вычисления: \[ P_2 = \frac{99}{380} + \frac{110}{380} = \frac{209}{380} \] Заметим, что \( 209 \div 19 = 11 \) и \( 380 \div 19 = 20 \), поэтому: \[ P_2 = \frac{11}{20} \] --- **в) Вероятность того, что оба экзаменующихся возьмут билеты с однозначными номерами.** Для первого экзаменующегося вероятность выбрать билет с однозначным номером равна: \[ \frac{9}{20} \] После этого остаётся 8 билетов с однозначными номерами из 19 оставшихся билетов. Тогда вероятность для второго экзаменующегося равна: \[ \frac{8}{19} \] Общая вероятность выбора двух однозначных билетов: \[ P = \frac{9}{20} \cdot \frac{8}{19} = \frac{72}{380} = \frac{18}{95} \] --- **Ответы:** a) \( \frac{9}{20} \) б) \( \frac{11}{20} \) в) \( \frac{18}{95} \)