Calcola l'area del triangolo $$ A B V $$, dove $$ V $$ e il ver. tice della parabola di equazione $$ y=-x^{2}-2 x+6 $$ e $$ A $$ e $$ B $$ sono le intersezioni della parabola con la retta di equazione $$ y=-2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Per calcolare l'area del triangolo $$ ABV $$, dobbiamo seguire i seguenti passaggi:

1. **Trovare il vertice $$ V $$ della parabola**.
2. **Trovare i punti di intersezione $$ A $$ e $$ B $$ tra la parabola e la retta $$ y = -2 $$**.
3. **Calcolare l'area del triangolo utilizzando le coordinate dei punti $$ A $$, $$ B $$ e $$ V $$**.

### Passo 1: Trovare il vertice $$ V $$ della parabola

L'equazione della parabola è data da:

$$
y = -x^2 - 2x + 6
$$

Il vertice di una parabola della forma $$ y = ax^2 + bx + c $$ si trova usando la formula:

$$
x_v = -\frac{b}{2a}
$$

In questo caso, $$ a = -1 $$ e $$ b = -2 $$. Calcoliamo $$ x_v $$:

$$
x_v = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = 1
$$

Ora sostituiamo $$ x_v $$ nell'equazione della parabola per trovare $$ y_v $$:

$$
y_v = -1^2 - 2 \cdot 1 + 6 = -1 - 2 + 6 = 3
$$

Quindi, il vertice $$ V $$ ha coordinate $$ (1, 3) $$.

### Passo 2: Trovare i punti di intersezione $$ A $$ e $$ B $$

Per trovare i punti di intersezione tra la parabola e la retta $$ y = -2 $$, eguagliamo le due equazioni:

$$
-2 = -x^2 - 2x + 6
$$

Risolvendo l'equazione:

$$
0 = -x^2 - 2x + 6 + 2
$$
$$
0 = -x^2 - 2x + 8
$$
$$
x^2 + 2x - 8 = 0
$$

Utilizziamo la formula quadratica per risolvere l'equazione:

$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Dove $$ a = 1 $$, $$ b = 2 $$, e $$ c = -8 $$:

$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}
$$
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2}
$$
$$
x = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2}
$$
$$
x = \frac{-2 \pm 6}{2}
$$

Le soluzioni sono:

$$
x_1 = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{e} \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4
$$

Ora calcoliamo le coordinate di $$ A $$ e $$ B $$:

- Per $$ x_1 = 2 $$:
  $$
  A(2, -2)
  $$

- Per $$ x_2 = -4 $$:
  $$
  B(-4, -2)
  $$

### Passo 3: Calcolare l'area del triangolo $$ ABV $$

Le coordinate dei punti sono:
- $$ A(2, -2) $$
- $$ B(-4, -2) $$
- $$ V(1, 3) $$

L'area $$ A $$ di un triangolo dato dai punti $$ (x_1, y_1) $$, $$ (x_2, y_2) $$, $$ (x_3, y_3) $$ è data dalla formula:

$$
A = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|
$$

Sostituiamo i valori:

$$
A = \frac{1}{2} \left| 2(-2 - 3) + (-4)(3 - (-2)) + 1(-2 - (-2)) \right|
$$
$$
= \frac{1}{2} \left| 2(-5) + (-4)(5) + 1(0) \right|
$$
$$
= \frac{1}{2} \left| -10 - 20 + 0 \right|
$$
$$
= \frac{1}{2} \left| -30 \right| = \frac{30}{2} = 15
$$

Quindi, l'area del triangolo $$ ABV $$ è $$ 15 $$ unità quadrate.
L'area del triangolo $$ ABV $$ è $$ 15 $$ unità quadrate.

Calcola l’area del triangolo , dove e il ver.
tice della parabola di equazione
e e sono le intersezioni della parabola con la
retta di equazione

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