24 Déterminer le polynôme \( P \) du troisième degré divisible par \( x^{2}+1 \), ayant 3 comme racine et le reste de sa division par \( (x-2) \) est 5 .

Pour trouver le polynôme \( P(x) \) du troisième degré qui satisfait les conditions données, commençons par noter que si \( P(x) \) est divisible par \( x^2 + 1 \), alors on peut écrire \( P(x) \) sous la forme : \[ P(x) = (x^2 + 1)(Ax + B) \] où \( A \) et \( B \) sont des constantes à déterminer. Comme \( P(x) \) a 3 comme racine, on peut substituer 3 dans l'expression de \( P \) : \[ P(3) = (3^2 + 1)(3A + B) = 0 \] Cela implique que \( 3A + B = 0 \) (puisque \( 3^2 + 1 = 10 \) n'est pas nul). Cela donne : \[ B = -3A \tag{1} \] Maintenant, exprimons le polynôme a partir de l’expression complète : \[ P(x) = (x^2 + 1)(Ax - 3A) = A(x^2 + 1)(x - 3) \] Cela nous permettra de répondre à la condition concernant le reste de la division par \( x - 2 \). Pour trouver le reste, évaluons \( P(2) \): \[ P(2) = (2^2 + 1)(2A - 3A) = 5(2A - 3A) = 5(-A) \] Selon l'énoncé, cela doit équivaloir à 5 : \[ 5(-A) = 5 \implies -A = 1 \implies A = -1 \] En injectant \( A \) dans l'équation (1), nous avons : \[ B = -3(-1) = 3 \] Finalement, le polynôme peut être écrit comme : \[ P(x) = (x^2 + 1)(-x + 3) = -x^3 + 3x^2 - x + 3 \] Ainsi, le polynôme \( P(x) \) du troisième degré que nous cherchions est : \[ P(x) = -x^3 + 3x^2 - x + 3 \]