47. Resolver " \( x \) " que satisface: \( 22^{\prime \prime} * \operatorname{Cos} x+\operatorname{Cos} 2 x=-\frac{3}{2}, 90^{\circ}

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Dec 03,2024

Para resolver la ecuación \( 22^{\prime \prime} * \operatorname{Cos} x + \operatorname{Cos} 2x = -\frac{3}{2} \), primero simplificamos la expresión. Sabemos que \( \operatorname{Cos} 2x = 2 \operatorname{Cos}^2 x - 1 \). Entonces, podemos reescribir la ecuación como: \[ 22^{\prime \prime} * \operatorname{Cos} x + (2 \operatorname{Cos}^2 x - 1) = -\frac{3}{2} \] Ahora, sustituimos \( 22^{\prime \prime} \) por su valor, que es 22: \[ 22 \operatorname{Cos} x + (2 \operatorname{Cos}^2 x - 1) = -\frac{3}{2} \] Multiplicamos todo por 2 para eliminar el denominador: \[ 44 \operatorname{Cos} x + 4 \operatorname{Cos}^2 x - 2 = -3 \] Sumamos 3 a ambos lados: \[ 44 \operatorname{Cos} x + 4 \operatorname{Cos}^2 x + 1 = 0 \] Reorganizamos la ecuación: \[ 4 \operatorname{Cos}^2 x + 44 \operatorname{Cos} x + 1 = 0 \] Ahora, aplicamos la fórmula cuadrática \( \operatorname{Cos} x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), donde \( a = 4 \), \( b = 44 \), y \( c = 1 \): \[ \operatorname{Cos} x = \frac{-44 \pm \sqrt{44^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4} \] Calculamos el discriminante: \[ 44^2 = 1936 \] \[ 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 \] \[ 1936 - 16 = 1920 \] Ahora, calculamos la raíz cuadrada: \[ \sqrt{1920} \approx 43.82 \] Sustituyendo en la fórmula: \[ \operatorname{Cos} x = \frac{-44 \pm 43.82}{8} \] Calculamos las dos soluciones: 1. \( \operatorname{Cos} x = \frac{-44 + 43.82}{8} \approx \frac{-0.18}{8} \approx -0.0225 \) 2. \( \operatorname{Cos} x = \frac{-44 - 43.82}{8} \approx \frac{-87.82}{8} \approx -10.9775 \) (no es posible, ya que el coseno debe estar entre -1 y 1) Por lo tanto, tomamos la primera solución: \[ \operatorname{Cos} x \approx -0.0225 \] Ahora, encontramos el ángulo \( x \) en el intervalo \( 90^{\circ} < x < 180^{\circ} \): \[ x \approx 90^{\circ} + \arccos(-0.0225) \] Calculamos \( \arccos(-0.0225) \): \[ \arccos(-0.0225) \approx 91.29^{\circ} \] Entonces: \[ x \approx 90^{\circ} + 91.29^{\circ} \approx 181.29^{\circ} \text{ (fuera del rango)} \] Sin embargo, dado que estamos buscando en el rango \( 90^{\circ} < x < 180^{\circ} \), debemos considerar el ángulo en el segundo cuadrante. Finalmente, probamos las opciones dadas: - \( 120^{\circ} \): \( \operatorname{Cos}(120^{\circ}) = -0.5 \) - \( 135^{\circ} \): \( \operatorname{Cos}(135^{\circ}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \approx -0.707 \) - \( 127^{\circ} \): \( \operatorname{Cos}(127^{\circ}) \approx -0.844 \) - \( 143^{\circ} \): \( \operatorname{Cos}(143^{\circ}) \approx -0.809 \) - \( 150^{\circ} \): \( \operatorname{Cos}(150^{\circ}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0.866 \) La opción que más se aproxima a \( -0.0225 \) es \( 135^{\circ} \). Por lo tanto, la respuesta correcta es: **B) \( 135^{\circ} \)**.