Ejercicio 2 Divide: \( \frac{3 x^{4}-5 x^{3}+2 x^{2}-x+4}{x-1} \)

1. Escribimos el polinomio a dividir y el divisor: \[ P(x) = 3x^4 -5x^3 +2x^2 -x+4,\quad d(x) = x-1. \] 2. Dividimos el término de mayor grado de \(P(x)\) entre el término de mayor grado de \(d(x)\): \[ \frac{3x^4}{x} = 3x^3. \] Este es el primer término del cociente, \(Q(x)\). 3. Multiplicamos \(3x^3\) por el divisor: \[ 3x^3 (x-1) = 3x^4 - 3x^3. \] 4. Restamos el resultado de \(P(x)\): \[ \begin{array}{rcl} 3x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 4 & - & (3x^4 - 3x^3) \\ \hline 0x^4 - 2x^3 + 2x^2 - x + 4. \end{array} \] Obtengamos: \[ -2x^3 + 2x^2 - x+4. \] 5. Dividimos el nuevo término de mayor grado: \[ \frac{-2x^3}{x} = -2x^2. \] Este es el segundo término del cociente. 6. Multiplicamos \(-2x^2\) por el divisor: \[ -2x^2 (x-1) = -2x^3 + 2x^2. \] 7. Restamos: \[ \begin{array}{rcl} -2x^3 + 2x^2 - x + 4 & - & (-2x^3 + 2x^2) \\ \hline 0x^3 + 0x^2 - x + 4. \end{array} \] Y queda: \[ -x+4. \] 8. Dividimos el término de mayor grado: \[ \frac{-x}{x} = -1. \] Este es el tercer término del cociente. 9. Multiplicamos \(-1\) por el divisor: \[ -1 (x-1) = -x + 1. \] 10. Restamos: \[ \begin{array}{rcl} -x + 4 & - & (-x + 1) \\ \hline 0x + 3. \end{array} \] El residuo es \(3\). 11. Finalmente, el cociente es: \[ Q(x) = 3x^3 - 2x^2 -1, \] y el residuo es \(R(x)=3\). Así: \[ \frac{3x^4 -5x^3 +2x^2 -x+4}{x-1} = 3x^3 - 2x^2 -1 + \frac{3}{x-1}. \]