\( b _ { n } = \frac { n ^ { 2 } - 5 n ^ { 3 } } { n + 4 } ; n \in N \rightarrow \)

1. Tenemos la sucesión \[ b_n = \frac{n^2 - 5n^3}{n+4}. \] 2. Observamos que el término dominante en el numerador es \(-5n^3\) y en el denominador es \(n\). Para analizar la sucesión cuando \( n \to \infty \), dividimos tanto el numerador como el denominador por \( n \): \[ b_n = \frac{-5n^3 + n^2}{n+4} = \frac{n^2(-5n+1)}{n+4}. \] 3. Dividamos luego numerador y denominador por \( n \): \[ b_n = \frac{n^2(-5n+1)}{n+4} = \frac{n^2(-5n+1)}{n\left(1+\frac{4}{n}\right)} = \frac{n(-5n+1)}{1+\frac{4}{n}}. \] 4. Simplificando el numerador: \[ n(-5n+1) = -5n^2 + n. \] Entonces, \[ b_n = \frac{-5n^2 + n}{1+\frac{4}{n}}. \] 5. Al analizar la parte dominante para \( n \to \infty \), el término \(-5n^2\) en el numerador es el que predomina (recordando que \( n \) en \( +n \) es de orden menor) y en el denominador \( 1+\frac{4}{n} \) tiende a \( 1 \): \[ b_n \sim -5n^2 \quad \text{cuando} \quad n \to \infty. \] 6. Por lo tanto, cuando \( n \to \infty \), \( b_n \) tiende a \(-\infty\). La solución final es: \[ \lim_{n \to \infty} b_n = -\infty. \]