En los ejercicios \( \frac{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2} \)

Simplify the expression by following steps: - step0: Solution: \(\frac{\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)}{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2\right)}\) - step1: Remove the parentheses: \(\frac{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}\) - step2: Subtract the terms: \(\frac{\frac{x^{2}-y^{2}}{yx}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2}\) - step3: Calculate: \(\frac{\frac{x^{2}-y^{2}}{yx}}{\frac{x^{2}+y^{2}-2yx}{yx}}\) - step4: Multiply by the reciprocal: \(\frac{x^{2}-y^{2}}{yx}\times \frac{yx}{x^{2}+y^{2}-2yx}\) - step5: Rewrite the expression: \(\frac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{yx}\times \frac{yx}{\left(x-y\right)^{2}}\) - step6: Reduce the fraction: \(\left(x+y\right)\times \frac{1}{x-y}\) - step7: Multiply the terms: \(\frac{x+y}{x-y}\) Para simplificar la expresión \[ \frac{\frac{x}{y}-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-2} \] seguimos estos pasos: 1. **Simplificar el numerador**: - El numerador es \(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\). Para combinar estas fracciones, encontramos un denominador común, que es \(xy\): \[ \frac{x^2 - y^2}{xy} \] 2. **Simplificar el denominador**: - El denominador es \(\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2\). Nuevamente, usamos el denominador común \(xy\): \[ \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy} \] 3. **Reescribir la expresión completa**: - Ahora podemos reescribir la expresión original usando las simplificaciones del numerador y el denominador: \[ \frac{\frac{x^2 - y^2}{xy}}{\frac{x^2 + y^2 - 2xy}{xy}} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2 - 2xy} \] 4. **Factorizar**: - El numerador \(x^2 - y^2\) se puede factorizar como \((x - y)(x + y)\). - El denominador \(x^2 + y^2 - 2xy\) se puede reescribir como \((x - y)^2\). 5. **Simplificar la fracción**: - Al simplificar, obtenemos: \[ \frac{(x - y)(x + y)}{(x - y)^2} \] - Cancelamos un factor de \((x - y)\) (asumiendo que \(x \neq y\)): \[ \frac{x + y}{x - y} \] Por lo tanto, la expresión simplificada es: \[ \frac{x + y}{x - y} \]