¿Cuál es la solúción de \( \int_{-3}^{4}\left(x^{2}+3 x+1\right) d x \) ? a. 23.8 b. 47.8 c. 13.4 d. 45.3

Consideramos la integral definida \[ \int_{-3}^{4}\left(x^{2}+3x+1\right)dx. \] **Paso 1. Encontrar la antiderivada** La antiderivada o función primitiva de \( x^{2}+3x+1 \) es: \[ \int \left(x^{2}+3x+1\right)dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3x^{2}}{2} + x + C. \] **Paso 2. Evaluar la antiderivada en los límites de integración** Evaluamos la función primitiva en \( x=4 \) y \( x=-3 \): - Para \( x=4 \): \[ F(4)= \frac{4^{3}}{3} + \frac{3\cdot4^{2}}{2} + 4 = \frac{64}{3} + \frac{3\cdot 16}{2} + 4 = \frac{64}{3} + 24 + 4 = \frac{64}{3} + 28. \] Para combinar términos: \[ \frac{64}{3} + 28 = \frac{64 + 28\cdot3}{3} = \frac{64+84}{3} = \frac{148}{3}. \] - Para \( x=-3 \): \[ F(-3)= \frac{(-3)^{3}}{3} + \frac{3\cdot(-3)^{2}}{2} - 3 = \frac{-27}{3} + \frac{3\cdot 9}{2} - 3 = -9 + \frac{27}{2} - 3. \] Simplificamos la suma: \[ -9 - 3 = -12,\quad \text{entonces} \quad F(-3) = -12 + \frac{27}{2}. \] Para expresar la suma con denominador común, escribimos \(-12\) como \(-\frac{24}{2}\): \[ F(-3) = -\frac{24}{2} + \frac{27}{2} = \frac{3}{2}. \] **Paso 3. Aplicar el teorema fundamental del cálculo** La integral definida es: \[ \int_{-3}^{4}\left(x^{2}+3x+1\right)dx = F(4) - F(-3) = \frac{148}{3} - \frac{3}{2}. \] Para restar, hallamos denominador común (\(6\)): \[ \frac{148}{3} = \frac{296}{6},\quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6}. \] Entonces: \[ \frac{296}{6} - \frac{9}{6} = \frac{287}{6}. \] **Paso 4. Aproximar el resultado** Dividiendo: \[ \frac{287}{6} \approx 47.8333. \] Entre las opciones dadas, la respuesta que se aproxima a \(47.8\) es la opción b. La solución de la integral es: b. 47.8.