Dada la curva con ecuación \( -5 \cdot x^{2}-3 \cdot x-y^{2}+3 \cdot y+36=0 \) determinar la recta tangente y la rect punto \( (1,-4) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\left(10^{\star x} x+3 / 3-2^{\star} y\right) \) Escribe el resultado de la derivada anterior de manera implicita. \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(1,-4)}=13 / 11 \) Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada (es decir de la forma \( y=m \cdot x+b) \) a los espacios correspondientes: recta tangente: 1 recta normal:

Soit la courbe définie par \[ -5x^{2} - 3x - y^{2} + 3y + 36 = 0. \] 1. **Calcul de la dérivée implicite** On différencie chaque terme par rapport à \( x \) : - Pour \(-5x^{2}\) : \(\frac{d}{dx}(-5x^{2}) = -10x\). - Pour \(-3x\) : \(\frac{d}{dx}(-3x) = -3\). - Pour \(-y^{2}\) : en appliquant la dérivation implicite, \(\frac{d}{dx}(-y^{2}) = -2y \frac{dy}{dx}\). - Pour \(3y\) : \(\frac{d}{dx}(3y) = 3\frac{dy}{dx}\). - Le terme constant \(36\) disparaît. L'équation obtenue est donc : \[ -10x - 3 - 2y \frac{dy}{dx} + 3 \frac{dy}{dx} = 0. \] On regroupe les termes en \(\frac{dy}{dx}\) : \[ (-2y + 3) \frac{dy}{dx} = 10x + 3. \] D'où la dérivée implicite est : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x + 3}{3 - 2y}. \] 2. **Évaluation de la dérivée au point \((1, -4)\)** En substituant \(x = 1\) et \(y = -4\) : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-4)} = \frac{10\cdot1 + 3}{3 - 2(-4)} = \frac{10 + 3}{3 + 8} = \frac{13}{11}. \] 3. **Détermination de la droite tangente** La pente de la tangente en \((1, -4)\) est \( m = \frac{13}{11} \). La forme point-pente de la droite est : \[ y - (-4) = \frac{13}{11}(x - 1), \] ce qui s'écrit : \[ y + 4 = \frac{13}{11}(x - 1). \] Pour obtenir la forme « pente–ordonnée à l'origine », on développe : \[ y = \frac{13}{11}x - \frac{13}{11} - 4 = \frac{13}{11}x - \frac{13 + 44}{11} = \frac{13}{11}x - \frac{57}{11}. \] La droite tangente est donc : \[ y = \frac{13}{11}x - \frac{57}{11}. \] 4. **Détermination de la droite normale** La normale à la courbe est perpendiculaire à la tangente. Sa pente est l'opposé de l'inverse de \(\frac{13}{11}\) : \[ m_{n} = -\frac{11}{13}. \] En utilisant la forme point-pente pour le point \((1,-4)\) : \[ y - (-4) = -\frac{11}{13}(x - 1), \] ce qui se réécrit : \[ y + 4 = -\frac{11}{13}(x - 1). \] Pour mettre sous forme « pente–ordonnée à l'origine », on développe : \[ y = -\frac{11}{13}x + \frac{11}{13} - 4 = -\frac{11}{13}x + \frac{11 - 52}{13} = -\frac{11}{13}x - \frac{41}{13}. \] La droite normale est donc : \[ y = -\frac{11}{13}x - \frac{41}{13}. \] --- **Réponses finales :** - Dérivée implicite : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x + 3}{3 - 2y}. \] - Au point \((1,-4)\) : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-4)} = \frac{13}{11}. \] - Équation de la droite tangente : \[ y = \frac{13}{11}x - \frac{57}{11}. \] - Équation de la droite normale : \[ y = -\frac{11}{13}x - \frac{41}{13}. \]