Dada la curva con ecuación \( -5 \cdot x^{2}-3 \cdot x-y^{2}+3 \cdot y+36=0 \) punto \( (1,-4) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\square \) Escribe el resultado de la derivada anterior de manera implicita \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(1,-4)}= \) Escribe la recta tangente y normal en forma pendiente ordenada los espacios correspondientes: recta tangente: recta normal:

Soit la courbe définie par \[ -5x^2 - 3x - y^2 + 3y + 36 = 0. \] **1. Calcul de \(\frac{dy}{dx}\) de manière implicite** On dérive par rapport à \(x\) : \[ \frac{d}{dx}(-5x^2) = -10x,\quad \frac{d}{dx}(-3x) = -3, \] \[ \frac{d}{dx}(-y^2) = -2y\,\frac{dy}{dx},\quad \frac{d}{dx}(3y) = 3\,\frac{dy}{dx}. \] La dérivation de la constante donne \(0\). Ainsi, on a : \[ -10x - 3 - 2y\,\frac{dy}{dx} + 3\,\frac{dy}{dx} = 0. \] On regroupe les termes en \(\frac{dy}{dx}\) : \[ (-2y + 3)\,\frac{dy}{dx} = 10x + 3. \] La dérivée implicite est donc : \[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x+3}{3-2y}. \] **2. Évaluation de \(\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-4)}\)** En substituant \(x=1\) et \(y=-4\) dans l'expression ci-dessus : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-4)} = \frac{10\cdot 1+3}{3-2(-4)} = \frac{10+3}{3+8} = \frac{13}{11}. \] **3. Écriture de la tangente et de la normale sous forme pente-ordonnée à l'origine** - **Tangente** : La droite tangente au point \((1,-4)\) a pour équation (forme point-pente) \[ y - (-4) = \frac{13}{11}(x-1) \quad \Longrightarrow \quad y + 4 = \frac{13}{11}(x-1). \] - **Normale** : La pente de la normale est l'inverse négatif de celle de la tangente : \[ m_{\text{normale}} = -\frac{1}{\frac{13}{11}} = -\frac{11}{13}. \] L'équation de la droite normale au point \((1,-4)\) est donc : \[ y + 4 = -\frac{11}{13}(x-1). \] **Résultats** \[ \frac{dy}{dx} = \frac{10x+3}{3-2y} \] \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,-4)} = \frac{13}{11} \] **recta tangente:** \[ y + 4 = \frac{13}{11}(x-1) \] **recta normal:** \[ y + 4 = -\frac{11}{13}(x-1) \]