SOMMA O DIFFERENZA DI DUE CUBI Il binomio \( 27 a^{3} x^{3}-8 a^{3} \) è scomponibile in uno solo dei seguenti modi. Quale? \( \begin{array}{ll}\text { A }(3 a x-2 a)^{3} & \text { c] }(3 a x-2 a) \cdot\left(9 a^{2} x^{2}-12 a^{2} x+4 a^{2}\right) \\ \text { B }(3 a x-2 a) \cdot\left(9 a^{2} x^{2}+4 a^{2}\right) & \text { D } a^{3}(3 x-2) \cdot\left(9 x^{2}+6 x+4\right)\end{array} \)

Per scomporre il binomio \( 27 a^{3} x^{3} - 8 a^{3} \), possiamo riconoscere che si tratta di una differenza di due cubi. La formula per la scomposizione della differenza di due cubi è: \[ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \] In questo caso, possiamo identificare: - \( a = 3ax \) (poiché \( (3ax)^3 = 27a^3x^3 \)) - \( b = 2a \) (poiché \( (2a)^3 = 8a^3 \)) Ora possiamo applicare la formula: 1. Calcoliamo \( a - b \): \[ 3ax - 2a \] 2. Calcoliamo \( a^2 + ab + b^2 \): - \( a^2 = (3ax)^2 = 9a^2x^2 \) - \( ab = (3ax)(2a) = 6a^2x \) - \( b^2 = (2a)^2 = 4a^2 \) Quindi: \[ a^2 + ab + b^2 = 9a^2x^2 + 6a^2x + 4a^2 \] Ora possiamo scrivere la scomposizione completa: \[ 27a^3x^3 - 8a^3 = (3ax - 2a)(9a^2x^2 + 6a^2x + 4a^2) \] Ora confrontiamo questa scomposizione con le opzioni fornite: - **A**: \( (3ax - 2a)^3 \) - non corretto. - **B**: \( (3ax - 2a)(9a^2x^2 + 4a^2) \) - non corretto. - **C**: \( (3ax - 2a)(9a^2x^2 - 12a^2x + 4a^2) \) - non corretto. - **D**: \( a^3(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) \) - non corretto. L'unica opzione corretta è quindi: \[ (3ax - 2a)(9a^2x^2 + 6a^2x + 4a^2) \] Tuttavia, nessuna delle opzioni fornite corrisponde esattamente alla scomposizione corretta. Potrebbe esserci un errore nelle opzioni. La risposta corretta è: \[ (3ax - 2a)(9a^2x^2 + 6a^2x + 4a^2) \]