12. บริษัทรับเหม่าก่อสร้าง 3 บริษัท ต้องการรับ สมัครคนงานเข้าทำงานจำนวน 3 คน 2 คน และ 5 คนตามลำดับ ถ้ามีคนงานมาสมัคร 10 คน จงหา จำนวนวิธีที่จะบรรจุคนงาน 10 คนนี้เข้าทำงาน ก. 10 ! วิธี ข. \( P_{10,3} \times P_{10,2} \times P_{10,5} \) วิธี ค. \( \binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{5} \) วิธี ง. \( \frac{10!}{2!3!5!} \) วิธี

พิจารณาจำนวนคนสมัครทั้งสิ้น \(10\) คน และบริษัททั้ง 3 บริษัทต้องการคนทำงานจำนวน - บริษัทที่ 1: \(3\) คน - บริษัทที่ 2: \(2\) คน - บริษัทที่ 3: \(5\) คน ขั้นตอนการคำนวณมีดังนี้ 1. เลือกคนทำงานให้บริษัทที่ 1 โดยเลือก \(3\) คนจาก \(10\) คน \[ \binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} \] 2. เลือกคนทำงานให้บริษัทที่ 2 โดยเลือก \(2\) คนจากคนที่เหลือ \(7\) คน \[ \binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} \] 3. เลือกคนทำงานให้บริษัทที่ 3 โดยเลือก \(5\) คนจากคนที่เหลือ \(5\) คน (มีเพียงวิธีเดียว) \[ \binom{5}{5} = 1 \] ผลรวมของจำนวนวิธีที่บรรจุคนเข้าทำงานทั้งหมดคือการคูณผลลัพธ์ของแต่ละขั้นตอน \[ \binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{5} = \frac{10!}{3!7!} \times \frac{7!}{2!5!} \times 1 = \frac{10!}{3!2!5!} \] สังเกตว่า - ตัวเลือก ค เขียนว่า \[ \binom{10}{3}\binom{7}{2}\binom{5}{5} \] - ตัวเลือก ง เขียนว่า \[ \frac{10!}{2!3!5!} \] โดยที่ทั้งสองตัวเลือกนี้มีค่าเท่ากัน ดังนั้นคำตอบที่ถูกต้องคือ \[ \textbf{ตัวเลือก ค. และ ง.} \]