27. De un pedazo de cartón de 18 pulgadas por 18 pulgadas se fabrica una caja abierta, quitando un pequeño cuadrado de cada esquina y doblando las alas para formar los lados. Exprese el volumen de la caja resultante como una función de la longitud $$ x $$ del lado de los cuadrados eliminados. Dibuje la gráfica y calcule el valor de $$ x $$ para el cual el volumen de la caja es máximo.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para fabricar una caja abierta a partir de un pedazo de cartón de 18 pulgadas por 18 pulgadas, se quitan cuadrados de lado $$ x $$ de cada esquina. Después de quitar los cuadrados y doblar las alas, la altura de la caja será $$ x $$, y las dimensiones de la base de la caja serán $$ (18 - 2x) $$ por $$ (18 - 2x) $$.

### Paso 1: Expresar el volumen como función de $$ x $$

El volumen $$ V $$ de la caja se puede expresar como:

$$
V = \text{base} \times \text{altura} = (18 - 2x)(18 - 2x)(x)
$$

Simplificando esto, tenemos:

$$
V = (18 - 2x)^2 \cdot x
$$

### Paso 2: Expandir la expresión

Primero, expandimos $$ (18 - 2x)^2 $$:

$$
(18 - 2x)^2 = 324 - 72x + 4x^2
$$

Ahora, multiplicamos por $$ x $$:

$$
V = x(324 - 72x + 4x^2) = 324x - 72x^2 + 4x^3
$$

### Paso 3: Encontrar el valor de $$ x $$ que maximiza el volumen

Para encontrar el valor de $$ x $$ que maximiza el volumen, derivamos $$ V $$ con respecto a $$ x $$ y luego igualamos a cero:

$$
\frac{dV}{dx} = 324 - 144x + 12x^2
$$

Igualamos la derivada a cero:

$$
12x^2 - 144x + 324 = 0
$$

Dividimos toda la ecuación entre 12:

$$
x^2 - 12x + 27 = 0
$$

### Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática

Usamos la fórmula cuadrática $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$:

$$
x = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}
$$
$$
x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 108}}{2}
$$
$$
x = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2}
$$
$$
x = \frac{12 \pm 6}{2}
$$

Esto nos da dos soluciones:

$$
x = \frac{18}{2} = 9 \quad \text{y} \quad x = \frac{6}{2} = 3
$$

### Paso 5: Determinar el valor de $$ x $$ que maximiza el volumen

Dado que $$ x $$ representa la longitud del lado de los cuadrados eliminados, debe ser menor que 9 (ya que $$ 18 - 2x $$ debe ser positivo). Por lo tanto, la única solución válida es:

$$
x = 3
$$

### Paso 6: Verificar que es un máximo

Para asegurarnos de que $$ x = 3 $$ es un máximo, podemos evaluar la segunda derivada:

$$
\frac{d^2V}{dx^2} = 24x - 144
$$

Evaluamos en $$ x = 3 $$:

$$
\frac{d^2V}{dx^2} = 24(3) - 144 = 72 - 144 = -72
$$

Como la segunda derivada es negativa, esto confirma que $$ x = 3 $$ es un punto de máximo.

### Resumen

El volumen de la caja es máximo cuando $$ x = 3 $$ pulgadas.

### Gráfica

Para graficar la función $$ V(x) = 324x - 72x^2 + 4x^3 $$, puedes usar software de gráficos o una calculadora gráfica. La gráfica mostrará un comportamiento cúbico, con un máximo en $$ x = 3 $$.
El volumen de la caja es máximo cuando $$ x = 3 $$ pulgadas.

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