53. Хэрэв тэгш өнцөгтийн хоёр талын харьцаа 4:9, түүний талбай 144 м \( { }^{2} \) бол тэгш өнцөгтийн талуудыг ол. 54. Хэрэв тэгш өнцөгтийн периметр 74 дм, талбай 3 м \( ^{2} \) бол тэгш өнцөгтийн талуудыг ол. 55. Тэгш өнцөгт, параллелограмм хоёул ижилхэн талуудтай. Хэрэв параллелограм- мын талбай тэгш өнцөгтийн талбайн хагастай тэнцүү бол параллелограммын хурц өнцгийг ол.

1. Бодлого 53 Өгөгдсөн тэгш өнцөгт дөрөвбүджийн талууд \(x\) ба \(y\) гэе. Талуудын харьцаа \(4:9\) учраас \[ x=4k,\quad y=9k. \] Тальбай \(A=xy=4k\cdot9k=36k^2\) нь 144 м\(^2\) байна: \[ 36k^2=144. \] Эндээс \[ k^2=4\quad \Rightarrow \quad k=2. \] Ийнхүү талууд \[ x=4\cdot2=8\text{ м},\quad y=9\cdot2=18\text{ м}. \] 2. Бодлого 54 Тэгш өнцөгт дөрөвбүджийн талуудыг \(a\) ба \(b\) гэж үзье. Периметр \(P=2(a+b)=74\) дм тул \[ a+b=37\text{ дм}. \] Талбай \(A=a\cdot b\) бөгөөд 3 м\(^2\) байна. Учир нь 1 м\(^2\)=100 дм\(^2\), тэгэхээр \[ a\cdot b=300\text{ дм}^2. \] \(\displaystyle b=37-a\) гэж бичиж энд хоёулаа орлоход \[ a(37-a)=300. \] Энэхүү тэгшiquк тэгшитгэлийг өргөтгөжил: \[ 37a - a^2 =300 \quad \Rightarrow \quad a^2 -37a+300=0. \] Дискриминант \[ \Delta=37^2-4\cdot300=1369-1200=169. \] Тэгээс \[ a=\frac{37\pm\sqrt{169}}{2}=\frac{37\pm13}{2}. \] Иймээс хоёр утга гарна: \[ a=\frac{37+13}{2}=25\text{ дм}\quad \text{эсвэл}\quad a=\frac{37-13}{2}=12\text{ дм}. \] Тэгээд \[ b=37-a, \] учир нь хэрэв \(a=25\text{ дм}\), \(b=12\text{ дм}\) болон эсрэг байдалд ийм өгөгдөлтэй тэгш өнцөгт дөрөвбүджийн талуудын хэмжээ 25 дм ба 12 дм болно. Хэрэв хүсвэл метрээр илэрхийлэхэд \[ 25\text{ дм}=2.5\text{ м},\quad 12\text{ дм}=1.2\text{ м}. \] 3. Бодлого 55 Тэгш өнцөгт болон параллелограммын тус бүр талууд ижил байна гэе. Тэгш өнцөгт дөрөвбүджийн талбайг диагон хувааж авахад үүссэн 2 тэгш өнцөг треугольникийн аль нэгний талбай \( \frac{1}{2}ab \) байна. Харин тэгш өнцөгтийн талуудын урт \(a\) ба \(b\) байхдаа параллелограммын талбай \[ A_{\text{параллелограмм}}=ab\sin\theta, \] энд \(\theta\) нь параллелограммын орчны хурц өнцөг юм. Бодлогоноос \[ ab\sin\theta=\frac{1}{2}ab. \] \(ab\ne0\) учраас хосгосноор \[ \sin\theta=\frac{1}{2}. \] Хурц өнцөгт утга авч \[ \theta=30^\circ. \]