En \( C \) se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que \( \alpha=20^{\circ} \), determine la tensión a) en el cable \( A C \) y b) en el cable \( B C \).

Para resolver el problema, primero necesitamos entender las fuerzas que actúan en el punto \( C \) donde se amarran los cables \( AC \) y \( BC \). Dado que no se proporciona una figura, asumiremos que los cables forman un triángulo con el ángulo \( \alpha = 20^{\circ} \) en el punto \( C \). ### Paso 1: Identificar las fuerzas 1. Sea \( T_A \) la tensión en el cable \( AC \). 2. Sea \( T_B \) la tensión en el cable \( BC \). 3. La fuerza de gravedad \( W \) actúa hacia abajo en el punto \( C \). ### Paso 2: Aplicar las condiciones de equilibrio Para que el sistema esté en equilibrio, la suma de las fuerzas en la dirección horizontal y vertical debe ser cero. #### Ecuaciones de equilibrio 1. En la dirección vertical: \[ T_A \sin(\alpha) + T_B \sin(\beta) = W \] donde \( \beta \) es el ángulo que forma el cable \( BC \) con la horizontal. 2. En la dirección horizontal: \[ T_A \cos(\alpha) = T_B \cos(\beta) \] ### Paso 3: Relación entre los ángulos Dado que \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \), podemos expresar \( \beta \) como: \[ \beta = 90^{\circ} - \alpha \] ### Paso 4: Sustitución de ángulos Sustituyendo \( \beta \) en las ecuaciones de equilibrio, tenemos: 1. En la dirección vertical: \[ T_A \sin(20^{\circ}) + T_B \cos(20^{\circ}) = W \] 2. En la dirección horizontal: \[ T_A \cos(20^{\circ) = T_B \sin(20^{\circ)} \] ### Paso 5: Resolver el sistema de ecuaciones Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas \( T_A \) y \( T_B \). Vamos a resolverlo. 1. De la ecuación horizontal, despejamos \( T_B \): \[ T_B = \frac{T_A \cos(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \] 2. Sustituyendo \( T_B \) en la ecuación vertical: \[ T_A \sin(20^{\circ}) + \frac{T_A \cos(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \cos(20^{\circ}) = W \] Ahora, vamos a resolver este sistema de ecuaciones. Primero, calcularemos \( T_B \) en términos de \( T_A \) y luego sustituiremos en la ecuación vertical. Voy a realizar los cálculos necesarios. Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}T_{A}\sin\left(20^{\circ}\right)+T_{B}\cos\left(20^{\circ}\right)=W\\T_{A}\cos\left(20^{\circ}\right)=T_{B}\sin\left(20^{\circ}\right)\end{array}\right.\) - step1: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{A}+\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}=W\\\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{A}=\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}\end{array}\right.\) - step2: Rewrite the expression: \(\left\{ \begin{array}{l}W=\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{A}+\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}\\\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{A}=\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}\end{array}\right.\) - step3: Substitute the value of \(W:\) \(\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{A}=\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}\) - step4: Divide both sides: \(\frac{\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{A}}{\cos\left(20^{\circ}\right)}=\frac{\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}}{\cos\left(20^{\circ}\right)}\) - step5: Divide the numbers: \(T_{A}=\frac{\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}}{\cos\left(20^{\circ}\right)}\) - step6: Substitute the value of \(T_{A}:\) \(W=\sin\left(20^{\circ}\right)\times \frac{\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}}{\cos\left(20^{\circ}\right)}+\cos\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}\) - step7: Simplify: \(W=\frac{\sin^{2}\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}+\cos^{2}\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}}{\cos\left(20^{\circ}\right)}\) - step8: Calculate: \(\left(T_{A},T_{B},W\right) = \left(\frac{\sin\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}}{\cos\left(20^{\circ}\right)},T_{B},\frac{\sin^{2}\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}+\cos^{2}\left(20^{\circ}\right)\times T_{B}}{\cos\left(20^{\circ}\right)}\right),T_{B} \in \mathbb{R}\) - step9: Alternative Form: \(\textrm{Infinitely many solutions}\) Al resolver el sistema de ecuaciones, encontramos que hay infinitas soluciones. Esto indica que las tensiones en los cables \( AC \) y \( BC \) dependen de la fuerza de gravedad \( W \) y de la relación entre las tensiones. ### Paso 6: Interpretación de los resultados Esto significa que, sin un valor específico para \( W \) (la carga en el punto \( C \)), no podemos determinar valores únicos para \( T_A \) y \( T_B \). Sin embargo, podemos expresar las tensiones en términos de \( W \). ### Paso 7: Expresión de las tensiones 1. De la ecuación horizontal: \[ T_B = T_A \frac{\cos(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \] 2. Sustituyendo \( T_B \) en la ecuación vertical: \[ T_A \sin(20^{\circ}) + T_A \frac{\cos(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \cos(20^{\circ}) = W \] Simplificando: \[ T_A \left( \sin(20^{\circ}) + \frac{\cos^2(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \right) = W \] \[ T_A \left( \frac{\sin^2(20^{\circ}) + \cos^2(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} \right) = W \] Dado que \( \sin^2(20^{\circ}) + \cos^2(20^{\circ}) = 1 \): \[ T_A \frac{1}{\sin(20^{\circ})} = W \] Por lo tanto: \[ T_A = W \sin(20^{\circ}) \] 3. Sustituyendo \( T_A \) en la expresión de \( T_B \): \[ T_B = W \sin(20^{\circ}) \frac{\cos(20^{\circ})}{\sin(20^{\circ})} = W \cos(20^{\circ}) \] ### Resumen de resultados - La tensión en el cable \( AC \) es: \[ T_A = W \sin(20^{\circ}) \] - La tensión en el cable \( BC \) es: \[ T_B = W \cos(20^{\circ}) \] Para obtener valores numéricos específicos, necesitaríamos el valor de \( W \).