Dada la curva con ecuación \( -2 \cdot x^{2}+5 \cdot x-2 \cdot y^{2}+2 \cdot y+33= \) el punto \( (-3,0) \) escribe lo que se te pide en cada caso: \( \frac{d y}{d x}=\square \) Escribe la derivada en forma implicita (es decir con \( x y \) con \( y \) ). \( \left.\frac{d y}{d x}\right|_{(-3,0)}=\square \) Escribe la recta tangente \( y \) normal en forma pendiente ordenada los espacios correspondientes: recta tangente: recta normal:

1. On part de l'équation de la courbe \[ -2x^2 + 5x - 2y^2 + 2y + 33 = 0. \] Pour obtenir la dérivée implicite, on dérive par rapport à \( x \) en considérant \( y \) comme une fonction de \( x \). 2. Dérivation de chaque terme : \[ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(-2x^2\right) &= -4x,\\[1mm] \frac{d}{dx}\left(5x\right) &= 5,\\[1mm] \frac{d}{dx}\left(-2y^2\right) &= -4y\,\frac{dy}{dx},\\[1mm] \frac{d}{dx}\left(2y\right) &= 2\,\frac{dy}{dx},\\[1mm] \frac{d}{dx}\left(33\right) &= 0. \end{aligned} \] 3. En assemblant ces résultats, on obtient : \[ -4x + 5 - 4y\,\frac{dy}{dx} + 2\,\frac{dy}{dx} = 0. \] Regroupons les termes contenant \(\frac{dy}{dx}\) : \[ -4x + 5 + (2-4y)\,\frac{dy}{dx} = 0. \] 4. On isole \(\frac{dy}{dx}\) : \[ (2-4y)\,\frac{dy}{dx} = 4x - 5 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{4x-5}{2-4y}. \] Ainsi, la dérivée en forme implicite est \[ \frac{dy}{dx} = \boxed{\frac{4x-5}{2-4y}}. \] 5. Pour le point \( (-3,0) \), on remplace \( x = -3 \) et \( y = 0 \) dans la dérivée : \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-3,0)} = \frac{4(-3)-5}{2-4(0)} = \frac{-12-5}{2} = \frac{-17}{2}. \] Donc, la dérivée au point \( (-3,0) \) est \[ \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(-3,0)} = \boxed{-\frac{17}{2}}. \] 6. Équation de la droite tangente : La pente de la tangente au point \( (-3,0) \) est \( m_{\text{tangente}} = -\frac{17}{2} \). En utilisant la formule point-pente, \[ y - 0 = -\frac{17}{2}(x - (-3)) \quad \Rightarrow \quad y = -\frac{17}{2}(x+3). \] La droite tangente est donc \[ \text{Tangente}: \boxed{y=-\frac{17}{2}(x+3)}. \] 7. Équation de la droite normale : La normale est perpendiculaire à la tangente. Sa pente est l'inverse opposé de celle de la tangente, \[ m_{\text{normale}} = -\frac{1}{m_{\text{tangente}}} = -\frac{1}{-\frac{17}{2}} = \frac{2}{17}. \] En appliquant la formule point-pente, \[ y - 0 = \frac{2}{17}(x+3) \quad \Rightarrow \quad y = \frac{2}{17}(x+3). \] La droite normale est donc \[ \text{Normale}: \boxed{y=\frac{2}{17}(x+3)}. \]