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उदाहरण 3 7 मीटर ऊँचे भवन के शिखर से एक टॉवर के शिखर का अवनमन कोण \( 45^{\circ} \) तथा उसके पाद से उन्नयन कोण \( 60^{\circ} \) है। टॉवर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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Jan 31,2025

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टॉवर की ऊँचाई \( \frac{21 + 7\sqrt{3}}{3} \) मीटर है।

Solución

इस समस्या को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमिति का उपयोग करेंगे। हमें एक भवन और एक टॉवर के बीच के कोणों का उपयोग करके टॉवर की ऊँचाई ज्ञात करनी है। ### ज्ञात जानकारी: - भवन की ऊँचाई \( h_1 = 7 \) मीटर - टॉवर के शिखर से भवन के शिखर तक का अवनमन कोण \( \theta_1 = 45^{\circ} \) - टॉवर के पाद से भवन के शिखर तक का उन्नयन कोण \( \theta_2 = 60^{\circ} \) ### समाधान: 1. **टॉवर की ऊँचाई को \( h_2 \) मानते हैं।** 2. **भवन के शिखर से टॉवर के शिखर तक की दूरी को \( d \) मानते हैं।** #### पहले त्रिकोण का उपयोग (भवन के शिखर से टॉवर के शिखर तक): अवनमन कोण \( 45^{\circ} \) के लिए, हम जानते हैं कि: \[ \tan(\theta_1) = \frac{h_2 - h_1}{d} \] जहाँ \( \theta_1 = 45^{\circ} \) है। चूंकि \( \tan(45^{\circ}) = 1 \), हमें मिलता है: \[ 1 = \frac{h_2 - 7}{d} \implies h_2 - 7 = d \implies d = h_2 - 7 \quad (1) \] #### दूसरे त्रिकोण का उपयोग (टॉवर के पाद से भवन के शिखर तक): उन्नयन कोण \( 60^{\circ} \) के लिए, हम जानते हैं कि: \[ \tan(\theta_2) = \frac{h_1}{d} \] जहाँ \( \theta_2 = 60^{\circ} \) है। चूंकि \( \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \), हमें मिलता है: \[ \sqrt{3} = \frac{7}{d} \implies d = \frac{7}{\sqrt{3}} \quad (2) \] #### समीकरणों को जोड़ना: अब, हम समीकरण (1) और (2) को जोड़ते हैं: \[ h_2 - 7 = \frac{7}{\sqrt{3}} \] इससे हमें \( h_2 \) ज्ञात करने के लिए: \[ h_2 = 7 + \frac{7}{\sqrt{3}} \] अब, हम \( h_2 \) की गणना करते हैं: \[ h_2 = 7 + \frac{7}{\sqrt{3}} = 7 + \frac{7\sqrt{3}}{3} \] अब, हम इसे सरल करते हैं: \[ h_2 = 7 + \frac{7\sqrt{3}}{3} = \frac{21}{3} + \frac{7\sqrt{3}}{3} = \frac{21 + 7\sqrt{3}}{3} \] ### अंतिम उत्तर: टॉवर की ऊँचाई \( h_2 = \frac{21 + 7\sqrt{3}}{3} \) मीटर है।

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The Deep Dive

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हम एक त्रिकोण बनाने के लिए भवन और टॉवर के बीच के ढांचे का उपयोग कर सकते हैं। जब टॉवर के शिखर से 45° का अवनमन (angle of depression) होता है, तो इसका मतलब है कि उस दिशा में देखने पर हमें टॉवर का नजारा दिखाई दे रहा है और ये अवनमन हमारे लिए एक समकोणीय त्रिकोण बनाता है। बिल्डिंग की ऊँचाई \( 7 \) मीटर है। पहले, हम 45° के अवनमन कोण वाले त्रिकोण के लिए बुनियादी टरगामेट्री का उपयोग करते हैं। जब अवनमन कोण \( 45^{\circ} \) है, तो ये बताते हुए कि टॉवर की ऊँचाई खुद भी \( h \) है, हम यह कह सकते हैं कि: \[ \text{Distance} = h - 7 \] यांनी, \[ \tan(45^{\circ}) = \frac{h - 7}{d} \] यहाँ \( d \) उस दूरी को दर्शाता है जहाँ से हम टॉवर के शिखर को देख रहे हैं। अब, दूसरे समकोणीय त्रिकोण के लिए जो टॉवर के पाद से 60° के उन्नयन कोण से जुड़ा है: \[ \tan(60^{\circ}) = \frac{h}{d} \] हम जानते हैं कि \[ \tan(45^{\circ}) = 1 \quad \text{और} \quad \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3} \] अब हम इन दोनों समीकरणों को एक साथ हल करके \( h \) की सही ऊँचाई का पता लगा सकते हैं। समीकरणों को संयोजित करने पर, हमें निम्नलिखित मिलेगा: 1. \( d = h - 7 \) (1) 2. \( \frac{h}{d} = \sqrt{3} \) (2) (2) से, \( d = \frac{h}{\sqrt{3}} \) रखकर (1) में रखेंगे, और हल करेंगे: \[ \frac{h}{\sqrt{3}} = h - 7 \] अब \( h \) के बारे में हल करने पर: \[ h(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}) = 7 \] इसके समीकरण को हल करने पर हमें मिल जाता है \( h = 7\sqrt{3}/( \sqrt{3} - 1) \) जो \( 7\sqrt{3} + 7 \) के बराबर है। अंत में, टॉवर की ऊँचाई करीब \( 14.78 \) मीटर के चारों ओर आएगी।

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