e) \( f(x)=\left(x^{2}-1\right)\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}-9\right) \)

Para resolver el problema, primero analizaremos la función dada: \[ f(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4)(x^2 - 9) \] ### Paso 1: Identificar los factores Los factores de la función son: 1. \( x^2 - 1 \) 2. \( x^2 - 4 \) 3. \( x^2 - 9 \) ### Paso 2: Encontrar las raíces de cada factor Para encontrar las raíces de cada factor, igualamos cada uno a cero: 1. \( x^2 - 1 = 0 \) \[ x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] 2. \( x^2 - 4 = 0 \) \[ x^2 = 4 \implies x = \pm 2 \] 3. \( x^2 - 9 = 0 \) \[ x^2 = 9 \implies x = \pm 3 \] ### Paso 3: Resumir las raíces Las raíces de la función \( f(x) \) son: \[ x = -3, -2, -1, 1, 2, 3 \] ### Paso 4: Expansión de la función Ahora, expandamos la función para obtener una forma polinómica. Primero, multiplicamos los dos primeros factores: \[ (x^2 - 1)(x^2 - 4) = x^4 - 4x^2 - x^2 + 4 = x^4 - 5x^2 + 4 \] Luego, multiplicamos este resultado por el tercer factor: \[ f(x) = (x^4 - 5x^2 + 4)(x^2 - 9) \] ### Paso 5: Expandir completamente Ahora expandimos: \[ f(x) = x^4(x^2 - 9) - 5x^2(x^2 - 9) + 4(x^2 - 9) \] Calculamos cada término: 1. \( x^4(x^2 - 9) = x^6 - 9x^4 \) 2. \( -5x^2(x^2 - 9) = -5x^4 + 45x^2 \) 3. \( 4(x^2 - 9) = 4x^2 - 36 \) ### Paso 6: Combinar todos los términos Ahora combinamos todos los términos: \[ f(x) = x^6 - 9x^4 - 5x^4 + 45x^2 + 4x^2 - 36 \] Simplificamos: \[ f(x) = x^6 - 14x^4 + 49x^2 - 36 \] ### Resumen La función \( f(x) \) se puede expresar como: \[ f(x) = x^6 - 14x^4 + 49x^2 - 36 \] Y las raíces son \( x = -3, -2, -1, 1, 2, 3 \).