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Determine whether the series is convergent or divergent. If convergent, find the sum; if divergent, enter div. \[ \sum_{n=1}^{\infty} \arctan (17 n) \] Answer:

Ask by Davison Graham. in the United States
Mar 14,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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The series diverges.

Solución

We first observe that the general term of the series is \[ a_n = \arctan(17n). \] To determine if the series \[ \sum_{n=1}^{\infty} \arctan(17n) \] converges or diverges, we check the behavior of the term \(a_n\) as \(n\) approaches infinity. As \(n \to \infty\), we have \[ \lim_{n \to \infty} 17n = \infty. \] Recall that \[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \frac{\pi}{2}. \] Thus, \[ \lim_{n \to \infty} \arctan(17n) = \frac{\pi}{2}. \] Since the limit of the terms is not \(0\), one of the necessary conditions for the convergence of an infinite series is not met. Therefore, by the Divergence Test (also known as the \(n\)th term test for divergence), \[ \text{if } \lim_{n \to \infty} a_n \neq 0, \text{ then } \sum a_n \text{ diverges.} \] Since \[ \lim_{n \to \infty} \arctan(17n) = \frac{\pi}{2} \neq 0, \] the series \[ \sum_{n=1}^{\infty} \arctan(17n) \] diverges. Answer: div.

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Beyond the Answer

To determine whether the series \(\sum_{n=1}^{\infty} \arctan(17n)\) is convergent or divergent, we can analyze the behavior of the terms as \(n\) approaches infinity. The term \(\arctan(17n)\) approaches \(\frac{\pi}{2}\) as \(n\) grows larger since the arctangent function asymptotically approaches \(\frac{\pi}{2}\). This means that the terms of our series do not approach zero: \[ \lim_{n \to \infty} \arctan(17n) = \frac{\pi}{2} \neq 0. \] Since the terms do not tend to zero, the series \(\sum_{n=1}^{\infty} \arctan(17n)\) diverges. Therefore, the answer is: div

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