\( f(x)=x^{3}-\sqrt{1}+2 x^{2} \) 3. (a) Déterminer l'expression de la dérivée \( f^{\prime} \) de la fonction \( f \). (b) Dresser le tableau de signe de \( f^{\prime} \). (c) En déduire le tableau de variation de la fonction \( f \).

On considère la fonction   f(x) = x³ – √1 + 2x². On remarque que √1 = 1, donc la fonction s'écrit   f(x) = x³ + 2x² – 1. ───────────────────────────── 1. Calcul de la dérivée f′(x) (a) Pour trouver f′(x), dérivons terme à terme :   • La dérivée de x³ est 3x².   • La dérivée de 2x² est 4x.   • La dérivée de –1 est 0. Ainsi,   f′(x) = 3x² + 4x. On peut factoriser :   f′(x) = x(3x + 4). ───────────────────────────── 2. Tableau de signe de f′(x) (b) Pour dresser le tableau de signe de f′(x) = x(3x + 4), il faut étudier le signe de chacun des facteurs : • Le facteur x s’annule pour x = 0. • Le facteur (3x + 4) s’annule pour 3x + 4 = 0, c’est-à-dire x = –4⁄3. On place ces deux valeurs sur la droite réelle. On remarque alors :   Intervalle I : x < –4⁄3     x est négatif et 3x + 4 sera également négatif     → (–) × (–) = (+).   Intervalle II : –4⁄3 < x < 0     x est négatif, mais 3x + 4 est positif (puisque, par exemple, pour x = –1, 3(–1) + 4 = 1)     → (–) × (+) = (–).   Intervalle III : x > 0     x est positif et 3x + 4 est positif     → (+) × (+) = (+). Le tableau de signe de f′(x) se présente alors :          x     : –∞      …      –4⁄3      …      0      …     +∞   f′(x) = x(3x+4) :   +       0       –       0       + ───────────────────────────── 3. Tableau de variation de f (c) Pour établir le tableau de variation, il faut étudier le signe de f′(x) et connaître le comportement de f aux limites. D’après le tableau précédent :   • Sur (–∞, –4⁄3), f′(x) > 0 donc f est croissante.   • En x = –4⁄3, f′(x) s’annule et f atteint un extremum (maximum local).   • Sur (–4⁄3, 0), f′(x) < 0 donc f est décroissante.   • En x = 0, f′(x) s’annule et f atteint un minimum local.   • Sur (0, +∞), f′(x) > 0 donc f est croissante. Calculons les valeurs de f aux points remarquables : • Pour x = –4⁄3 :   f(–4⁄3) = (–4⁄3)³ + 2(–4⁄3)² – 1.   Calculons chaque terme :     (–4⁄3)³ = –64⁄27,     (–4⁄3)² = 16⁄9 donc 2(16⁄9) = 32⁄9.   Mise sur un dénominateur commun (27) :     32⁄9 = 96⁄27 et 1 = 27⁄27.   Donc,     f(–4⁄3) = (–64⁄27) + (96⁄27) – (27⁄27) = (–64 + 96 – 27)/27 = 5⁄27. • Pour x = 0 :   f(0) = 0³ + 2·0² – 1 = –1. De plus, le comportement aux bornes est dominé par le terme x³ :   • Pour x → –∞, f(x) → –∞.   • Pour x → +∞, f(x) → +∞. Le tableau de variation de f s'établit :   x      –∞            –4⁄3           0          +∞   ---------------------------------------------------------------------------   f′         +           0           –           0          +   ---------------------------------------------------------------------------   f(x)       –∞     ↑       maximum local f(–4⁄3) = 5⁄27  ↓      minimum local f(0) = –1  ↑    +∞ ───────────────────────────── Conclusion (a) f′(x) = 3x² + 4x = x(3x + 4). (b) Le signe de f′(x) est positif pour x < –4⁄3, négatif sur l’intervalle (–4⁄3, 0) et positif pour x > 0. (c) f est croissante sur (–∞, –4⁄3), décroissante sur (–4⁄3, 0) et croissante sur (0, +∞), avec un maximum local en x = –4⁄3 (f(–4⁄3) = 5⁄27) et un minimum local en x = 0 (f(0) = –1).