Un ingeniero está diseffando un mecanismo donde la relacion entre la velocidad de un engranaje y la fuerza aplicada está modelada por la siguiente expresíón: $$ R=\frac{\sqrt[3]{4 a^{9} y^{3}} \times \sqrt[4]{16 \pi^{8} y^{4}}}{\sqrt[4]{64 x^{12} y^{6}}} $$ Para analizar el comportamiento del sistema, el ingeniero debe simplificar la expresión. ZCuÉl delas siguientes opciones representa correctamente la expresión simplificada de Pe?

Question

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1. Escribimos cada raíz en forma de potencias:

- $$\sqrt[3]{4a^9y^3} = 4^{\frac{1}{3}}a^{\frac{9}{3}}y^{\frac{3}{3}} = 4^{\frac{1}{3}}a^3y$$.
   - $$\sqrt[4]{16\pi^8y^4} = 16^{\frac{1}{4}}\pi^{\frac{8}{4}}y^{\frac{4}{4}} = 16^{\frac{1}{4}}\pi^2y$$.
   - $$\sqrt[4]{64x^{12}y^6} = 64^{\frac{1}{4}}x^{\frac{12}{4}}y^{\frac{6}{4}} = 64^{\frac{1}{4}}x^3y^{\frac{3}{2}}$$.

2. Expresamos los coeficientes numéricos en potencias de 2:
   
   - $$4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$$.
   - $$16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2$$.
   - $$64^{\frac{1}{4}} = (2^6)^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}}$$.

3. Sustituimos en la expresión original:

$$
   R=\frac{2^{\frac{2}{3}}a^3y\cdot 2\pi^2y}{2^{\frac{3}{2}}x^3y^{\frac{3}{2}}}
   $$

4. Simplificamos los coeficientes numéricos:

- En el numerador: $$2^{\frac{2}{3}} \times 2 = 2^{\frac{2}{3}+1} = 2^{\frac{2}{3}+\frac{3}{3}} = 2^{\frac{5}{3}}$$.

Por lo tanto, la expresión queda:

$$
   R=\frac{2^{\frac{5}{3}}a^3\pi^2y^2}{2^{\frac{3}{2}}x^3y^{\frac{3}{2}}}
   $$

5. Simplificamos las potencias de 2 y de $$y$$:

- Para $$2$$: $$2^{\frac{5}{3}} \div 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{5}{3}-\frac{3}{2}}$$. Igualamos denominadores: 
     
     $$
     \frac{5}{3} = \frac{10}{6},\quad \frac{3}{2} = \frac{9}{6}\quad\Rightarrow\quad \frac{10}{6}-\frac{9}{6}=\frac{1}{6}.
     $$
     
     Así, $$2^{\frac{5}{3}} \div 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{6}}$$.

- Para $$y$$: $$y^2 \div y^{\frac{3}{2}} = y^{2-\frac{3}{2}} = y^{\frac{1}{2}}$$.

6. La expresión simplificada es:

$$
   R=\frac{2^{\frac{1}{6}}a^3\pi^2y^{\frac{1}{2}}}{x^3}
   $$
La expresión simplificada de $$ R $$ es: $$ R = \frac{2^{\frac{1}{6}} a^3 \pi^2 y^{\frac{1}{2}}}{x^3} $$

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