\( 2 y ^ { \prime \prime } - 5 y ^ { \prime } - 3 y = 0 \)

1. Sea la ecuación diferencial \[ 2 y'' - 5 y' - 3 y = 0. \] 2. Suponemos una solución de la forma \[ y = e^{rx}. \] Al sustituir en la ecuación se obtiene la ecuación característica: \[ 2r^2 e^{rx} - 5r\,e^{rx} - 3e^{rx} = 0. \] Dividiendo entre \( e^{rx} \) (que no es cero), se tiene: \[ 2r^2 - 5r - 3 = 0. \] 3. Resolviendo la ecuación cuadrática mediante la fórmula general, se tienen: \[ r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \] en donde \( a = 2 \), \( b = -5 \) y \( c = -3 \). Así: \[ r = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4}. \] 4. Como \( \sqrt{49} = 7 \), los valores de \( r \) son: \[ r_1 = \frac{5 + 7}{4} = 3, \quad r_2 = \frac{5 - 7}{4} = -\frac{1}{2}. \] 5. La solución general de la ecuación diferencial es: \[ y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-\frac{x}{2}}, \] donde \( C_1 \) y \( C_2 \) son constantes arbitrarias.