18. Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes aplicando el criterio de $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right)^{n} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4 n}{3 n+1}\right)^{n} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n-1}{2 n+1}\right)^{n} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{n^{n}} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n+1}{5 n+2}\right)^{\frac{n}{2}} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{n^{2}+2}\right)^{n} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}} $$ $$ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}+\frac{2 n+1}{n}\right)^{-n} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}}{n!} $$

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1. Sea $$ a_n=\left(\frac{n+1}{2n-1}\right)^n. $$ Aplicamos el criterio de la raíz. Calculamos $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1}=\frac{1}{2}<1. $$ Por el criterio de la raíz la serie converge. 2. Sea $$ a_n=\left(\frac{4n}{3n+1}\right)^n. $$ Entonces, $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4n}{3n+1}=\frac{4}{3}>1. $$ Así, la serie diverge. 3. Sea $$ a_n=\left(\frac{3n-1}{2n+1}\right)^n. $$ Se tiene $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{3n-1}{2n+1}=\frac{3}{2}>1. $$ Por lo tanto, la serie diverge. 4. Sea $$ a_n=\frac{2^{n+1}}{n^n}. $$ Aplicamos la prueba de la raíz: $$ \sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{2^{n+1}}{n^n}}=\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n}. $$ Como $$ \lim_{n\to\infty}\frac{2^{1+\frac{1}{n}}}{n}=0<1, $$ la serie converge. 5. Sea $$ a_n=\left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{\frac{n}{2}}. $$ Entonces $$ \sqrt[n]{a_n}=\left(\frac{2n+1}{5n+2}\right)^{\frac{1}{2}}. $$ Al tomar el límite obtenemos $$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\sqrt{\frac{2}{5}}<1, $$ de modo que la serie converge. 6. Sea $$ a_n=\left(\frac{n}{n^2+2}\right)^n. $$ Entonces, $$ \sqrt[n]{a_n}=\frac{n}{n^2+2}. $$ Para $$ n \to \infty $$ $$ \frac{n}{n^2+2}\sim \frac{1}{n}\to 0<1. $$ Por lo tanto, la serie converge. 7. Sea $$ a_n=\frac{1}{n^n}. $$ Observamos que $$ \sqrt[n]{a_n}=\frac{1}{n}\to 0<1. $$ La serie converge. 8. Sea $$ a_n=\left[\left(\frac{n+1}{n}\right)^n+\frac{2n+1}{n}\right]^{-n}. $$ Notamos que \[ \left(\frac{n+1}{n}\right)^n\to e \quad \text{y} \quad \frac{2n+1}{n}\to 2 1. Convergent 2. Divergent 3. Divergent 4. Convergent 5. Convergent 6. Convergent 7. Convergent 8. Divergent

Determinar si las siguientes series son convergentes o divergentes aplicando el criterio de

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