B). El boleto de una función de cine cuesta $$ \$ 50.00 $$. Así que, a cada persona que asistá corresponderá pagar la misma cantidad. Calcular: a). ¿Cuál es el modelo matemático para este caso? o). Diga. ¿A qué clase de función nos estamos refiriendo? c). El dominio de x. d). ¿Cuál es su representación geométrica para 20 personas de entrada?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Claro, respondamos cada inciso del problema:

### a) Modelo matemático para este caso

El modelo matemático que representa la situación es una **función lineal** que relaciona el número de personas que asisten a la función de cine con el costo total. Si denotamos por $$ x $$ el número de personas y por $$ C $$ el costo total, la relación se expresa de la siguiente manera:

$$ C = 50x $$

Donde:
- $$ C $$ es el costo total en dólares.
- $$ x $$ es el número de personas que asisten.

### b) Clase de función

La función $$ C = 50x $$ pertenece a la **clase de funciones lineales**. Las funciones lineales son aquellas que pueden representarse con una ecuación de la forma $$ y = mx + b $$, donde $$ m $$ es la pendiente y $$ b $$ es la ordenada al origen. En este caso particular:
- La pendiente ($$ m $$) es 50, lo que indica que por cada persona adicional, el costo total aumenta en 50 dólares.
- La ordenada al origen ($$ b $$) es 0, ya que si no hay personas ($$ x = 0 $$), el costo total también es 0.

### c) Dominio de $$ x $$

El dominio de la función es el conjunto de todos los valores posibles de $$ x $$ que tienen sentido en el contexto del problema. Dado que $$ x $$ representa el número de personas que asisten a la función de cine, debe cumplir las siguientes condiciones:

$$ x \in \mathbb{N}_0 $$

Donde:
- $$ \mathbb{N}_0 $$ representa el conjunto de números naturales incluyendo el cero (0, 1, 2, 3, ...).

Es decir, $$ x $$ puede ser cualquier número entero no negativo, ya que no puede haber una fracción de persona ni un número negativo de asistentes.

### d) Representación geométrica para 20 personas de entrada

Para representar gráficamente la situación cuando asisten 20 personas, se utilizan las siguientes coordenadas en el plano cartesiano:

- **Eje horizontal (x):** Número de personas ($$ x = 20 $$)
- **Eje vertical (C):** Costo total ($$ C = 50 \times 20 = 1000 $$ dólares)

El punto correspondiente es $$ (20, 1000) $$.

**Representación gráfica:**

1. Dibuja un sistema de coordenadas con el eje $$ x $$ representando el número de personas y el eje $$ C $$ representando el costo total.
2. Traza la línea recta correspondiente a la función $$ C = 50x $$, que será una línea recta que pasa por el origen (0,0) y tiene una pendiente de 50.
3. Marca el punto $$ (20, 1000) $$ sobre esta línea.
4. Este punto indica que cuando 20 personas asisten a la función de cine, el costo total es de 1000 dólares.

**Gráfico ilustrativo:**

```
C
|
|                                 *
|                              (20,1000)
|                           
|_______________________________x
```

El asterisco (*) representa el punto donde 20 personas corresponden a un costo total de 1000 dólares en la línea recta de la función.
a) El modelo matemático es $$ C = 50x $$, donde $$ C $$ es el costo total y $$ x $$ es el número de personas. b) Es una función lineal. c) El dominio de $$ x $$ es cualquier número entero no negativo (0, 1, 2, ...). d) Para 20 personas, el costo es 1000 dólares, representado por el punto (20, 1000) en la gráfica.

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