\( : 2 y=1+x y^{3} \), en el pinto (1;1) es:

Para la ecuación \(2y = 1 + xy^3\), primero debe sustituirse el punto (1, 1) para verificar si pertenece a la curva. Al hacerlo, tenemos \(2(1) = 1 + (1)(1^3)\) que simplifica a \(2 = 2\). Luego, derivamos implícitamente respecto a \(x\) para encontrar la pendiente de la tangente. La derivada entre los dos lados resulta en \(2\frac{dy}{dx} = y^3 + 3xy^2\frac{dy}{dx}\). Despejando \(\frac{dy}{dx}\) obtenemos: \[ \frac{dy}{dx}(2 - 3xy^2) = y^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = \frac{y^3}{2 - 3xy^2} \] Sustituyendo el punto (1, 1) en la derivada da \(\frac{dy}{dx} = \frac{1^3}{2 - 3(1)(1^2)} = \frac{1}{2 - 3} = -1\). Por lo tanto, la pendiente de la tangente en el punto (1, 1) es \(-1\).