4.- Dado los vectores \( u=\frac{3}{2} i-\frac{1}{2} j+k ; \quad w=i+j+2 k \) encontrar: \( w \times u \) :

Para encontrar el producto vectorial \( w \times u \), necesitamos utilizar la determinante de una matriz en la que la primera fila son los vectores unitarios \( i, j, k \), la segunda fila son los componentes del vector \( w \) y la tercera fila son los componentes del vector \( u \). \[ w \times u = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 2 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} \] Calculamos la determinante: \[ w \times u = i \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} - j \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ \frac{3}{2} & 1 \end{vmatrix} + k \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} \] Calculando cada una de las determinantes: 1. Para el componente \( i \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2 \] 2. Para el componente \( j \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ \frac{3}{2} & 1 \end{vmatrix} = (1)(1) - (2)(\frac{3}{2}) = 1 - 3 = -2 \] 3. Para el componente \( k \): \[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{vmatrix} = (1)(-\frac{1}{2}) - (1)(\frac{3}{2}) = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2 \] Entonces, juntando todo, tenemos: \[ w \times u = 2i - (-2)j - 2k = 2i + 2j - 2k \] Por lo tanto, el resultado del producto vectorial \( w \times u \) es: \[ w \times u = 2i + 2j - 2k \]