Realizar los procedimientos \( y \) simplificar al máximo \[ \frac{\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}} y^{3}} \div \sqrt[3]{\frac{x^{4} y^{0} z}{x^{-8} y z^{5}}}}{z^{6}} \]

1. Partimos de la expresión \[ \frac{\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}} y^{3}} \div \sqrt[3]{\frac{x^{4} y^{0} z}{x^{-8} y z^{5}}}}{z^{6}}. \] 2. Notamos que \( y^0 = 1 \), por lo que la fracción dentro del radical del denominador se simplifica a \[ \frac{x^{4} z}{x^{-8} y z^{5}}. \] 3. Simplificamos la fracción anterior aplicando las propiedades de los exponentes: \[ \frac{x^{4} z}{x^{-8} y z^{5}} = x^{4-(-8)}\, y^{-1}\, z^{1-5} = x^{12}\, y^{-1}\, z^{-4}. \] 4. Así, la expresión se transforma en \[ \frac{\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}} y^{3}} \div \sqrt[3]{x^{12}\, y^{-1}\, z^{-4}}}{z^{6}}. \] 5. La división de dos raíces cúbicas se puede expresar como la raíz cúbica del cociente: \[ \sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}} y^{3}} \div \sqrt[3]{x^{12}\, y^{-1}\, z^{-4}} = \sqrt[3]{\frac{x^{\frac{3}{2}} y^{3}}{x^{12}\, y^{-1}\, z^{-4}}}. \] 6. Simplificamos la fracción dentro de la raíz usando propiedades de exponentes: \[ \frac{x^{\frac{3}{2}} y^{3}}{x^{12}\, y^{-1}\, z^{-4}} = x^{\frac{3}{2}-12}\, y^{3-(-1)}\, z^{4} = x^{-\frac{21}{2}}\, y^{4}\, z^{4}. \] 7. Entonces, la expresión queda: \[ \frac{\sqrt[3]{x^{-\frac{21}{2}}\, y^{4}\, z^{4}}}{z^{6}}. \] 8. Aplicamos la propiedad de la raíz cúbica, es decir, \(\sqrt[3]{a^m}=a^{\frac{m}{3}}\): \[ \sqrt[3]{x^{-\frac{21}{2}}\, y^{4}\, z^{4}} = x^{-\frac{21}{2}\cdot \frac{1}{3}}\, y^{\frac{4}{3}}\, z^{\frac{4}{3}} = x^{-\frac{7}{2}}\, y^{\frac{4}{3}}\, z^{\frac{4}{3}}. \] 9. Finalmente, dividimos por \( z^{6} \): \[ \frac{x^{-\frac{7}{2}}\, y^{\frac{4}{3}}\, z^{\frac{4}{3}}}{z^{6}} = x^{-\frac{7}{2}}\, y^{\frac{4}{3}}\, z^{\frac{4}{3}-6}. \] 10. Calculamos el exponente de \( z \): \[ \frac{4}{3}-6 = \frac{4}{3}-\frac{18}{3} = -\frac{14}{3}. \] 11. Así, la expresión simplificada es: \[ \frac{y^{\frac{4}{3}}}{x^{\frac{7}{2}}\, z^{\frac{14}{3}}}. \]