12. Берілген функцияның ең кіші он периодын табыңыз: \( \sin 12 x \cos 8 x-\cos 12 x \sin 8 x \) A) \( \frac{\pi}{2} \) B) \( \frac{2}{3} \) C) \( 0,05 \pi \) D) \( 1,5 \pi \) 13. Жұп функцияны табыңыз. A) \( f(x)=\sin ^{2} 5 x-2 x^{3} \) B) \( f(x)=x^{2}+\sin 4 x \) C) \( f(x)=x+\cos 2 x \) D) \( y=\sin ^{2} 12 x-5 x^{4} \) 14. Функцияның ең кіші оң периодын табыңыз: \( y=2 \operatorname{tg} x+\sin 3 x \) A) \( 2 \pi \) B) \( \pi \) C) \( \frac{\pi}{6} \) D) \( \frac{\pi}{2} \) 15. Тақ функцияларды табыңыз: 1. \( y=3 x \cdot \operatorname{tg} x \) 3. \( y=\frac{x^{6} \cdot \operatorname{ctg} x}{|x|} \) 2. \( y=\left|x^{2}\right| \cdot \sin x \) 4. \( y=x^{6}+x^{3} \) A) \( 1 ; 2 \) B) \( 2 ; 3 \) C) \( 2 ; 4 \) D) \( 1 ; 4 \) 16. Функцияның ең кіші оң периодын табыңыз: \( y=\cos ^{2} 2 x-\sin ^{2} 2 x \) A) \( 4 \pi \) B) \( \pi \) C) \( \frac{\pi}{2} \) D) \( \frac{3 \pi}{2} \)

Ниже приведены подробные решения задач: ──────────────────────────── Задача 12. Найти наименьший положительный период функции    sin(12x)·cos(8x) – cos(12x)·sin(8x) Заметим, что по формуле разности синусов:   sin A·cos B – cos A·sin B = sin(A – B). Подставляем A = 12x, B = 8x:   sin(12x – 8x) = sin(4x). Таким образом, функция сводится к sin(4x); её период T определяется уравнением:   T = (2π)/4 = π/2. Ответ: A) π/2 ──────────────────────────── Задача 13. Найти чётную функцию (f(–x) = f(x)) Рассмотрим варианты: A) f(x) = sin²(5x) – 2x³   sin²(5x) – чётная часть, но –2x³ – нечётная; следовательно, f(–x) не равно f(x). B) f(x) = x² + sin(4x)   x² – чётная, но sin(4x) – нечётная (так как sin(–4x) = – sin(4x)); f(–x) ≠ f(x). C) f(x) = x + cos(2x)   x – нечётная, cos(2x) – чётная, сумма не является четной. D) y = sin²(12x) – 5x⁴   sin²(12x) – чётная функция, 5x⁴ – тоже чётная. Итого f(–x) = f(x). Ответ: D) y = sin²(12x) – 5x⁴ ──────────────────────────── Задача 14. Найти наименьший положительный период функции   y = 2·tg x + sin 3x Определим периоды слагаемых:   • tg x – имеет период π.   • sin 3x – имеет период T₁ = (2π)/3. Наименьший общий период – наименьшее положительное число T, такое что   T/π и T/(2π/3) – целые числа. Проверим T = π:   π/(2π/3) = 3/2, не целое. Проверим T = 2π:   2π/π = 2, и 2π/(2π/3) = 3. Оба целые. Ответ: A) 2π ──────────────────────────── Задача 15. Найти функции, которые являются нечётными (f(–x) = –f(x)) Рассмотрим предложенные функции: 1. y = 3x · tg x   Заметим, что 3x – нечётная, tg x – нечётная (tg(–x) = –tg x). Произведение двух нечётных функций даёт чётную функцию.   Таким образом, функция 1 – чётная. 2. y = |x²| · sin x   Заметим, что |x²| = x² (так как x² ≥ 0) – чётная, sin x – нечётная. Таким образом, произведение чётной и нечётной функции – нечётная.   Функция 2 – нечётная. 3. y = (x⁶ · cot x) / |x|   x⁶ – чётная, cot x – нечётная (cot(–x) = –cot x), |x| – чётная.   Таким образом, числитель (x⁶ · cot x) – нечётная, а деление на чётную функцию не меняет знак симметрии (при условии, что знаменатель остаётся неизменным при замене x на –x). Проверим:   f(–x) = ((–x)⁶ · cot(–x)) / |–x| = (x⁶ · (–cot x)) / |x| = – (x⁶ · cot x) / |x| = – f(x).   Функция 3 – нечётная. 4. y = x⁶ + x³   x⁶ – чётная, x³ – нечётная; их сумма не обладает симметрией (f(–x) = x⁶ – x³ ≠ –(x⁶ + x³)).   Функция 4 – не нечётная. Таким образом, нечётными являются функции 2 и 3. Ответ: B) 2; 3 ──────────────────────────── Задача 16. Найти наименьший положительный период функции   y = cos²(2x) – sin²(2x) Применим формулу двойного угла:   cos²θ – sin²θ = cos2θ. Установим θ = 2x, тогда:   cos²(2x) – sin²(2x) = cos(4x). Период функции cos(4x) равен:   T = (2π)/4 = π/2. Ответ: C) π/2 ──────────────────────────── Итого, окончательные ответы: 12. A) π/2 13. D) y = sin²(12x) – 5x⁴ 14. A) 2π 15. B) функции 2 и 3 16. C) π/2