18. \( \int \operatorname{sen}^{2} \frac{x}{4} \cos ^{2} \frac{x}{4} d x \) 19. \( \int \operatorname{sen} 4 x \cdot \cos 3 x d x \) 20. \( \int \operatorname{sen} 3 x \cdot \cos 5 x d x \) 21. \( \int \cos x \cdot \cos 7 x d x \)

A continuación se muestran las soluciones detalladas de cada integral. ───────────────────────────── 18) ∫ sen²(x/4) · cos²(x/4) dx Observamos que se puede expresar el producto en función de un ángulo doble. En efecto, recordamos que:   sen²θ cos²θ = ¼ sen²(2θ). Sea θ = x/4, por lo que se tiene:   sen²(x/4) cos²(x/4) = (1/4) sen²(2·(x/4)) = (1/4) sen²(x/2). Entonces la integral se transforma en:   ∫ sen²(x/4) cos²(x/4) dx = ¼ ∫ sen²(x/2) dx. Utilizamos la identidad:   sen²u = ½ (1 – cos(2u)), con u = x/2. Así:   sen²(x/2) = ½ (1 – cos x). Sustituyendo:   ¼ ∫ sen²(x/2) dx = ¼ ∫ [½ (1 – cos x)] dx = 1/8 ∫ (1 – cos x) dx. Integrando término a término:   ∫ 1 dx = x  y  ∫ cos x dx = sen x. Por lo tanto:   1/8 (x – sen x) + C. ───────────────────────────── 19) ∫ sen 4x · cos 3x dx Utilizamos la fórmula del producto a suma:   sen A · cos B = ½ [sen(A + B) + sen(A – B)]. Con A = 4x y B = 3x:   sen 4x · cos 3x = ½ [sen(4x + 3x) + sen(4x – 3x)] = ½ [sen 7x + sen x]. Entonces la integral queda:   ∫ sen 4x cos 3x dx = ½ ∫ [sen 7x + sen x] dx. Integramos cada término:   ∫ sen 7x dx = –(cos 7x)/7  y  ∫ sen x dx = – cos x. Por lo tanto:   ½ [ –(cos 7x)/7 – cos x ] = –(cos 7x)/(14) – (cos x)/2 + C. ───────────────────────────── 20) ∫ sen 3x · cos 5x dx Aplicamos la misma fórmula del producto a suma:   sen A · cos B = ½ [sen(A + B) + sen(A – B)]. Con A = 3x y B = 5x:   sen 3x · cos 5x = ½ [sen(3x + 5x) + sen(3x – 5x)] = ½ [sen 8x + sen(–2x)]. Recordando que sen(–θ) = – sen θ, se tiene:   sen 3x · cos 5x = ½ [sen 8x – sen 2x]. La integral se convierte en:   ∫ sen 3x cos 5x dx = ½ ∫ [sen 8x – sen 2x] dx. Integramos término a término:   ∫ sen 8x dx = – (cos 8x)/8  y  ∫ sen 2x dx = – (cos 2x)/2. Sustituyendo:   ½ [–(cos 8x)/8 + (cos 2x)/2] = – (cos 8x)/(16) + (cos 2x)/(4) + C. ───────────────────────────── 21) ∫ cos x · cos 7x dx Utilizamos la fórmula del producto a suma para el coseno:   cos A · cos B = ½ [cos(A + B) + cos(A – B)]. Con A = x y B = 7x:   cos x · cos 7x = ½ [cos(x + 7x) + cos(x – 7x)] = ½ [cos 8x + cos(–6x)]. Dado que cos(–6x) = cos 6x (la función coseno es par), obtenemos:   cos x · cos 7x = ½ [cos 8x + cos 6x]. Por lo tanto, la integral es:   ∫ cos x cos 7x dx = ½ ∫ [cos 8x + cos 6x] dx. Integrando:   ∫ cos 8x dx = (sen 8x)/8  y  ∫ cos 6x dx = (sen 6x)/6. Así:   ½ [(sen 8x)/8 + (sen 6x)/6] = (sen 8x)/(16) + (sen 6x)/(12) + C. ───────────────────────────── Respondiendo en conjunto, las soluciones son: 18) ∫ sen²(x/4) cos²(x/4) dx = 1/8 (x – sen x) + C 19) ∫ sen 4x cos 3x dx = – (cos 7x)/(14) – (cos x)/2 + C 20) ∫ sen 3x cos 5x dx = – (cos 8x)/(16) + (cos 2x)/(4) + C 21) ∫ cos x cos 7x dx = (sen 8x)/(16) + (sen 6x)/(12) + C