Dados los polinomios \( A(x)=-x^{2}+x, B(x)= \) \( 3 \cdot x^{2}-9 \cdot x+6, C(x)=x^{2}+3 \cdot x \quad D(x)= \) \( 3 \cdot x^{2}-9 \cdot x+6 \). Calcula \( \frac{A(x)}{B(x)}+\frac{C(x)}{D(x)} y \) simplifica el resultado:

Primero, vamos a simplificar cada una de las fracciones que tenemos. Para \( A(x) = -x^2 + x \) y \( B(x) = 3x^2 - 9x + 6 \): 1. Factorizamos \( B(x) \): \[ B(x) = 3(x^2 - 3x + 2) = 3(x - 1)(x - 2) \] 2. Así, \( A(x) = -x^2 + x = -x(x - 1) \). 3. Ahora la fracción: \[ \frac{A(x)}{B(x)} = \frac{-x(x - 1)}{3(x - 1)(x - 2)} = \frac{-x}{3(x - 2)}, \quad x \neq 1 \] Luego, para \( C(x) = x^2 + 3x \) y \( D(x) = 3x^2 - 9x + 6 \): 1. Sabemos que \( D(x) = 3(x - 1)(x - 2) \) (ya lo hemos factorizado). 2. Factorizamos \( C(x) \): \[ C(x) = x(x + 3) \] Ahora, simplificamos la segunda fracción: \[ \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{x(x + 3)}{3(x - 1)(x - 2)} \] Finalmente, combinamos ambos resultados: \[ \frac{A(x)}{B(x)} + \frac{C(x)}{D(x)} = \frac{-x}{3(x - 2)} + \frac{x(x + 3)}{3(x - 1)(x - 2)} \] Igualando denominadores: \[ = \frac{-x(x - 1) + x(x + 3)}{3(x - 1)(x - 2)} = \frac{-x^2 + x + x^2 + 3x}{3(x - 1)(x - 2)} = \frac{4x}{3(x - 1)(x - 2)} \] Por lo tanto, el resultado simplificado es: \[ \frac{4x}{3(x - 1)(x - 2)} + y \]