\( y ^ { \prime \prime } + y = \cos ^ { 2 } x \)

Consideramos la ecuación diferencial \[ y''+y=\cos^2x. \] Procedemos en los siguientes pasos: ### 1. Solución de la ecuación homogénea La ecuación homogénea asociada es \[ y''+y=0. \] La ecuación característica para esta ecuación es \[ r^2+1=0, \] lo que nos da \[ r=\pm i. \] Por lo tanto, la solución general de la parte homogénea es \[ y_h=C_1\cos x+C_2\sin x. \] ### 2. Encontrar una solución particular Notamos que \[ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}. \] De esta manera, la ecuación se puede escribir como \[ y''+y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos2x. \] Procedemos en dos partes. #### a) Solución particular para la constante \(\frac{1}{2}\) Proponemos \[ y_{p1}=A, \] una constante. Al derivar obtenemos \[ y_{p1}''=0, \] y, al sustituir en la ecuación, \[ 0+A=A. \] Igualando a la parte constante del lado derecho obtenemos \[ A=\frac{1}{2}. \] #### b) Solución particular para la función \(\frac{1}{2}\cos2x\) Proponemos \[ y_{p2}=B\cos2x+C\sin2x. \] Calculamos las derivadas: \[ y_{p2}'=-2B\sin2x+2C\cos2x, \] \[ y_{p2}''=-4B\cos2x-4C\sin2x. \] Sustituimos en la ecuación: \[ y_{p2}''+y_{p2}=(-4B\cos2x-4C\sin2x)+(B\cos2x+C\sin2x)=(-3B\cos2x-3C\sin2x). \] Esta expresión debe ser igual a \(\frac{1}{2}\cos2x\); es decir, \[ -3B\cos2x-3C\sin2x=\frac{1}{2}\cos2x. \] Igualando coeficientes obtenemos: - Para \(\cos2x\): \[ -3B=\frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad B=-\frac{1}{6}, \] - Para \(\sin2x\): \[ -3C=0 \quad\Rightarrow\quad C=0. \] Entonces, la solución particular correspondiente es \[ y_{p2}=-\frac{1}{6}\cos2x. \] ### 3. Solución general de la ecuación La solución particular total es la suma de \(y_{p1}\) y \(y_{p2}\): \[ y_p=y_{p1}+y_{p2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cos2x. \] Finalmente, la solución general de la ecuación diferencial es \[ y=y_h+y_p=C_1\cos x+C_2\sin x+\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\cos2x. \]