8. $$ \int x a^{2} d x=a^{x}\left[\frac{x}{\ln a}-\frac{1}{\ln ^{2} a}\right]+C $$. 9. $$ \int x^{n} \ln x d x=\frac{x^{n+1}}{n+1}\left(\ln x-\frac{1}{n+1}\right)+C $$. 10. $$ \int \operatorname{arcsen} x d x=x \operatorname{arcsen} x+\sqrt{1-x^{2}}+C $$. 11. $$ \int \operatorname{arctg} x d x=x \operatorname{arctg} x-1 / 2 \ln \left(1+x^{2}\right)+C $$. 12. $$ \int \operatorname{arcctg} y d y=y \operatorname{arcctg} y+1 / 2 \ln \left(1+y^{2}\right)+C $$. 13. $$ \int \arccos 2 x d x=x \arccos 2 x-1 / 2 \sqrt{1-4 x^{2}}+C $$. 14. $$ \int \operatorname{arcsec} y d y=y \operatorname{arcsec} y-\ln \left(y+\sqrt{y^{2}-1}\right)+C $$. 15. $$ \int \operatorname{arccsc} \frac{t}{2} d t=t \operatorname{arccsc} \frac{t}{2}+2 \ln \left(t+\sqrt{t^{2}-4}\right)+C $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

A continuación se recopilan las fórmulas de las integrales indicadas, expresadas en notación matemática y acompañadas de una breve explicación:

8. ∫ x · aˣ dx  
  La integral de x · aˣ con respecto a x es:  
   aˣ · [x/ln(a) – 1/(ln(a))²] + C.  
  Esta fórmula se obtiene (por ejemplo) aplicando integración por partes, teniendo en cuenta la derivada de aˣ.

9. ∫ xⁿ · ln x dx  
  La antiderivada es:  
   [x^(n+1)/(n+1)] · (ln x – 1/(n+1)) + C.  
  Se consigue, usualmente, mediante integración por partes, eligiendo u = ln x y dv = xⁿ dx.

10. ∫ arcsen x dx  
  (Recordando que “arcsen x” es el mismo que arcsin x)  
  El resultado es:  
   x · arcsen x + √(1 – x²) + C.  
  Esta integral se resuelve utilizando integración por partes y simplificando adecuadamente.

11. ∫ arctg x dx  
  (Donde “arctg x” equivale a arctan x)  
  La antiderivada es:  
   x · arctg x – ½ ln(1 + x²) + C.  
  Nuevamente, se puede obtener aplicando integración por partes y reconociendo la derivada de arctan x.

12. ∫ arcctg y dy  
  (Recordando que “arcctg y” se corresponde con arccot y)  
  El resultado es:  
   y · arcctg y + ½ ln(1 + y²) + C.  
  Esta forma se llega de manera análoga a la del arctan, considerando las diferencias en la derivada entre arctan y arccot.

13. ∫ arccos (2x) dx  
  La integral de arccos(2x) respecto a x se expresa como:  
   x · arccos(2x) – ½ √(1 – 4x²) + C.  
  Se deduce aplicando integración por partes y adecuando la derivada de arccos(2x).

14. ∫ arcsec y dy  
  La antiderivada es:  
   y · arcsec y – ln(y + √(y² – 1)) + C.  
  Esta fórmula proviene de técnicas de integración especializadas en funciones inversas trigonométricas.

15. ∫ arccsc (t/2) dt  
  (Observa que “arccsc” es la función arco cosecante)  
  El resultado es:  
   t · arccsc(t/2) + 2 ln(t + √(t² – 4)) + C.  
  La obtención se realiza mediante procedimientos semejantes a la integración por partes y utilizando propiedades de las funciones inversas trigonométricas.

Cada una de estas expresiones incluye la constante de integración (C), y se derivan generalmente utilizando técnicas como la integración por partes y adecuadas sustituciones que tienen en cuenta las derivadas de las funciones exponencial y las funciones inversas trigonométricas.

Si necesitas una explicación más detallada o el desarrollo de alguno de los pasos, no dudes en pedirlo.
Aquí están las fórmulas de las integrales solicitadas: 8. ∫ x · aˣ dx = aˣ · [x/ln(a) – 1/(ln(a))²] + C 9. ∫ xⁿ · ln x dx = [x^(n+1)/(n+1)] · (ln x – 1/(n+1)) + C 10. ∫ arcsen x dx = x · arcsen x + √(1 – x²) + C 11. ∫ arctg x dx = x · arctg x – ½ ln(1 + x²) + C 12. ∫ arcctg y dy = y · arcctg y + ½ ln(1 + y²) + C 13. ∫ arccos (2x) dx = x · arccos(2x) – ½ √(1 – 4x²) + C 14. ∫ arcsec y dy = y · arcsec y – ln(y + √(y² – 1)) + C 15. ∫ arccsc (t/2) dt = t · arccsc(t/2) + 2 ln(t + √(t² – 4)) + C

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