\( \left.\begin{array}{l}\text { Risolvi e discuti i seguenti sistemi di disequazioni letterali nell'incognita } x \\ 212 \\ \left\{\begin{array}{l}x\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^{-1} \geq(x-1)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)^{-1} \\ \frac{x-a}{2} \geq \frac{x+a}{3}\end{array} \quad\left[\text { Se } a<\frac{2}{5}, 5 a \leq x \leq 2\right.\right.\end{array}\right\} \begin{array}{l}(x-2 a)(a+1)-(x-3 a)(a-1) \geq a(a+1)\end{array} \)

Per risolvere il sistema di disequazioni letterali nell'incognita \( x \), seguiamo i seguenti passi: ### Disequazione 1 La prima disequazione è: \[ x\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)^{-1} \geq (x-1)\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)^{-1} \] Iniziamo a semplificare i coefficienti: 1. Calcoliamo \( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \): \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \] Quindi, \( \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)^{-1} = 6 \). 2. Calcoliamo \( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \): \[ \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12} \] Quindi, \( \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)^{-1} = 12 \). Sostituendo questi valori nella disequazione, otteniamo: \[ 6x \geq 12(x - 1) \] Semplifichiamo ulteriormente: \[ 6x \geq 12x - 12 \] Portiamo tutti i termini a sinistra: \[ 6x - 12x + 12 \geq 0 \implies -6x + 12 \geq 0 \implies 6x \leq 12 \implies x \leq 2 \] ### Disequazione 2 La seconda disequazione è: \[ \frac{x-a}{2} \geq \frac{x+a}{3} \] Moltiplichiamo entrambi i membri per 6 (il minimo comune multiplo di 2 e 3) per eliminare i denominatori: \[ 3(x - a) \geq 2(x + a) \] Semplifichiamo: \[ 3x - 3a \geq 2x + 2a \] Portiamo i termini a sinistra: \[ 3x - 2x - 3a - 2a \geq 0 \implies x - 5a \geq 0 \implies x \geq 5a \] ### Condizioni aggiuntive Abbiamo anche la condizione \( a < \frac{2}{5} \) e \( 5a \leq x \leq 2 \). ### Riassunto delle soluzioni Abbiamo quindi le seguenti condizioni: 1. \( x \leq 2 \) 2. \( x \geq 5a \) Combinando queste due condizioni, otteniamo: \[ 5a \leq x \leq 2 \] ### Ultima disequazione Infine, consideriamo l'ultima disequazione: \[ (x - 2a)(a + 1) - (x - 3a)(a - 1) \geq a(a + 1) \] Semplifichiamo: \[ (x - 2a)(a + 1) - (x - 3a)(a - 1) \geq a(a + 1) \] Espandiamo i termini: \[ x(a + 1) - 2a(a + 1) - x(a - 1) + 3a(a - 1) \geq a(a + 1) \] Raggruppiamo i termini in \( x \): \[ x(a + 1 - a + 1) \geq a(a + 1) + 2a(a + 1) - 3a(a - 1) \] Semplificando ulteriormente, otteniamo: \[ 2x \geq a(a + 1) + 2a(a + 1) - 3a(a - 1) \] Dobbiamo ora risolvere questa disequazione per \( x \). ### Conclusione Abbiamo trovato le condizioni per \( x \) e ora possiamo risolvere l'ultima disequazione per ottenere il valore finale di \( x \) in funzione di \( a \). Se hai bisogno di ulteriori dettagli o calcoli, fammi sapere!