2 Resuelve los siguientes reactivos: 16. El intervalo que satisface \( x^{2}-5 x-6>0 \) es: a) \( (-\infty,-1) \cup(6, \infty) \) b) \( (-\infty, 6) \cup(1, \infty) \) c) \( (-1,6) \) d) \( (6,-1) \) 17. El intervalo solución de \( 3 x^{2}-x-2 \leq 0 \) es: a) \( \left(-\infty,-\frac{2}{3}\right] \cup[1, \infty) \) b) \( (-\infty,-1] \cup\left[\frac{2}{3}, \infty\right)^{-} \) c) \( \left(-\frac{2}{3}, 1\right) \) d) \( \left[-\frac{2}{3}, 1\right] \) 18. El intervalo que satisface a \( x^{2}-36 \geq 0 \) es: a) \( (-\infty,-6) \cup(6, \infty) \) b) \( (-\infty,-6] \cup[6, \infty) \) c) \( (-6,6) \) d) \( [-6,6] \) 19. El intervalo solución de \( x^{2}+5 x<0 \) es: a) \( (0,5] \) b) \( (5,0] \) c) \( [-5,0] \) d) \( (-5,0) \) 20. El intervalo solución de \( x^{2}+x-12 \leq 0 \) es: a) \( (-\infty,-4) \cup(3, \infty) \) b) \( (-\infty,-4] \cup[3, \infty) \) 21. El intervalo solución de \( x^{2}-7 x+10 \leq 0 \) es: c) \( [-4,3] \) a) \( (-\infty, 2) \cup(5, \infty) \) b) \( (-\infty,-2] \cup[5, \infty) \) 22. El intervalo solución de \( x^{2}+6 x<0 \) es: c) \( [2,5] \) a) \( (-\infty, 0) \) b) \( (-6,0) \) 23. El conjunto solución de \( x^{2}-16 \geq 0 \) es: c) \( (0,6) \) a) \( x \leq-4 \) o \( x \geq 4 \) b) \( -4 \leq x \leq 4 \) d) \( (6, \infty) \) c) \( -44 \) y \( x<-4 \)

A continuación se presenta la solución detallada de cada uno de los reactivos: ────────────────────────────── 1) Problema 16 Inecuación: x² – 5x – 6 > 0 • Se factoriza el trinomio:   x² – 5x – 6 = (x – 6)(x + 1) • Se igualan los factores a cero para encontrar las raíces:   x – 6 = 0 ⟹ x = 6   x + 1 = 0 ⟹ x = –1 • Estas raíces dividen la recta real en tres intervalos. Probamos el signo en cada uno:   – Para x < –1, es decir, x = –2:    (x – 6)(x + 1) = (–2 – 6)(–2 + 1) = (–8)(–1) = 8 > 0   – Para –1 < x < 6, por ejemplo x = 0:    (0 – 6)(0 + 1) = (–6)(1) = –6 < 0   – Para x > 6, por ejemplo x = 7:    (7 – 6)(7 + 1) = (1)(8) = 8 > 0 • Como se requiere “> 0”, la solución es:   x < –1 o x > 6 La opción correcta es la   a) (–∞, –1) ∪ (6, ∞) ────────────────────────────── 2) Problema 17 Inecuación: 3x² – x – 2 ≤ 0 • Se buscan las raíces mediante la fórmula general.  El discriminante es: D = (–1)² – 4·3·(–2) = 1 + 24 = 25  Raíces:   x = [1 ± √25] / (2·3) = [1 ± 5] / 6   Así,    x₁ = (1 – 5)/6 = –4/6 = –2/3    x₂ = (1 + 5)/6 = 6/6 = 1 • Dado que el coeficiente principal (3) es positivo, la parábola abre hacia arriba; la inecuación ≤ 0 se cumple entre las raíces. Por tanto, la solución es:   –2/3 ≤ x ≤ 1 La opción correcta es la   d) [–2/3, 1] ────────────────────────────── 3) Problema 18 Inecuación: x² – 36 ≥ 0 • Se factoriza:   x² – 36 = (x – 6)(x + 6) • Las raíces son x = 6 y x = –6. • El producto es mayor o igual que 0 cuando:   x ≤ –6 o x ≥ 6 (incluye a las raíces porque es “≥”) La opción correcta es la   b) (–∞, –6] ∪ [6, ∞) ────────────────────────────── 4) Problema 19 Inecuación: x² + 5x < 0 • Factorizando:   x² + 5x = x(x + 5) • Los ceros son:   x = 0 y x = –5 • El signo del producto es negativo cuando uno de los factores es positivo y el otro negativo. Observamos que:   – Si x es negativo (x < 0) y, además, x + 5 > 0, se tiene el producto negativo.   La condición x + 5 > 0 implica x > –5. Por ello, se requiere:   –5 < x < 0 La opción correcta es la   d) (–5, 0) ────────────────────────────── 5) Problema 20 Inecuación: x² + x – 12 ≤ 0 • Se factoriza el trinomio:   x² + x – 12 = (x + 4)(x – 3) • Los ceros son: x = –4 y x = 3. • Al ser la parábola de concavidad hacia arriba (coeficiente positivo), la inecuación se cumple entre las raíces e incluye los puntos donde se anula (por “≤”). Por ello, la solución es:   –4 ≤ x ≤ 3 Observación importante: Entre las opciones dadas para el reactivo 20 se ofrecen:   a) (–∞, –4) ∪ (3, ∞) y b) (–∞, –4] ∪ [3, ∞) Ninguna coincide con la solución correcta. Concluimos que la respuesta correcta es –4 ≤ x ≤ 3, que no se encuentra entre las opciones dadas. ────────────────────────────── 6) Problema 21 Inecuación: x² – 7x + 10 ≤ 0 • Se factoriza:   x² – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5) • Los ceros son: x = 2 y x = 5. • Por la misma razón que el caso anterior, la solución es el intervalo cerrado entre las raíces:   2 ≤ x ≤ 5 Revisando las opciones dadas para el reactivo 21:   a) (–∞, 2) ∪ (5, ∞)   b) (–∞, –2] ∪ [5, ∞)   c) [–4, 3] Ninguna coincide con la solución [2, 5]. Por tanto, la respuesta correcta es 2 ≤ x ≤ 5, la cual no figura entre las opciones propuestas. ────────────────────────────── 7) Problema 22 Inecuación: x² + 6x < 0 • Se factoriza:   x² + 6x = x(x + 6) • Los ceros son: x = 0 y x = –6. • El producto es negativo cuando los factores tienen signos contrarios. Verificamos que cuando x está entre –6 y 0:   –6 < x < 0 Esa es la solución de la inecuación. La opción correcta es la   b) (–6, 0) ────────────────────────────── 8) Problema 23 Inecuación: x² – 16 ≥ 0 • Se factoriza:   x² – 16 = (x – 4)(x + 4) • Los ceros son: x = 4 y x = –4. • La expresión es mayor o igual que 0 cuando:   x ≤ –4 o x ≥ 4 (incluyendo los finales por “≥”) La opción correcta es la   a) x ≤ –4 o x ≥ 4 ────────────────────────────── Resumen de respuestas: 16. a) (–∞, –1) ∪ (6, ∞) 17. d) [–2/3, 1] 18. b) (–∞, –6]