Exercice 1 : ( 6 points) Vrai ou faux ? justifier la réponse. 1. Si \( u \) est la suite arithmétique de raison 0,75 et de premier terme \( u(0)=40 \), alors \( u(20)=55 \). 2. Si \( v \) est une suite arithmétique telle que \( v(2)=25 \) et \( v(20)=79 \), alors sa raison est 4 . 3. On donne ci-contre la représentation graphique de la suite arithmétique \( u \). Alors \( u(10)=3,5 \). Exercice 2 : (5 points) Le prix d'un produit augmente de 20 centimes par an. Son prix initial était 2 euros en 2015. On note \( P(n) \) le prix en euros du produit en \( 2015+n \). 1. Donner la valeur de \( P(0) \) et \( P(1) \). 2. Pour tout entier naturel \( n \), exprimer \( P(n) \) en fonction de \( n \). 3. Quel sera le prix du produit en 2025 ? 4. En quelle année le prix dépassera-t-il les 5 euros pour la première fois?

Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(u\): \(u\times 20=40+20\times 0.75\) - step1: Reorder the terms: \(20u=55\) - step2: Divide both sides: \(\frac{20u}{20}=\frac{55}{20}\) - step3: Divide the numbers: \(u=\frac{11}{4}\) Solve the equation \( v(20)=v(2)+18*r \). Solve the equation by following steps: - step0: Solve for \(r\): \(v\times 20=v\times 2+18r\) - step1: Reorder the terms: \(20v=2v+18r\) - step2: Swap the sides: \(2v+18r=20v\) - step3: Move the expression to the right side: \(18r=20v-2v\) - step4: Subtract the terms: \(18r=18v\) - step5: Divide both sides: \(\frac{18r}{18}=\frac{18v}{18}\) - step6: Divide the numbers: \(r=v\) ### Exercice 1 1. **Vrai ou faux ?** **Faux.** Justification : Pour une suite arithmétique, le terme général est donné par la formule \( u(n) = u(0) + n \cdot r \), où \( r \) est la raison. Ici, \( u(0) = 40 \) et \( r = 0,75 \). Donc, pour \( n = 20 \) : \[ u(20) = 40 + 20 \cdot 0,75 = 40 + 15 = 55. \] La réponse est donc **faux** car \( u(20) = 55 \) est correct. 2. **Vrai ou faux ?** **Faux.** Justification : La raison \( r \) d'une suite arithmétique peut être calculée à partir des termes donnés. On a \( v(2) = 25 \) et \( v(20) = 79 \). La différence entre ces deux termes est : \[ v(20) - v(2) = 79 - 25 = 54. \] Le nombre d'intervalles entre \( v(2) \) et \( v(20) \) est \( 20 - 2 = 18 \). Donc, la raison est : \[ r = \frac{54}{18} = 3. \] La réponse est donc **faux** car la raison est 3, pas 4. 3. **Vrai ou faux ?** **Faux.** Justification : Pour déterminer \( u(10) \), on utilise la même formule : \[ u(10) = 40 + 10 \cdot 0,75 = 40 + 7,5 = 47,5. \] Donc, \( u(10) = 3,5 \) est incorrect. ### Exercice 2 1. **Valeurs de \( P(0) \) et \( P(1) \)** - \( P(0) = 2 \) euros (prix initial en 2015). - \( P(1) = 2 + 0,20 = 2,20 \) euros (augmentation de 20 centimes). 2. **Expression de \( P(n) \)** Pour tout entier naturel \( n \), le prix en \( 2015+n \) est donné par : \[ P(n) = 2 + 0,20n. \] 3. **Prix du produit en 2025** En 2025, \( n = 2025 - 2015 = 10 \) : \[ P(10) = 2 + 0,20 \cdot 10 = 2 + 2 = 4 \text{ euros.} \] 4. **Année où le prix dépassera 5 euros** On cherche \( n \) tel que \( P(n) > 5 \) : \[ 2 + 0,20n > 5 \implies 0,20n > 3 \implies n > 15. \] Donc, la première année où cela se produit est \( n = 16 \), soit en \( 2015 + 16 = 2031 \).