15. Sabendo que \( \frac{\pi}{2}

Ask by Martin Mcdonald. in Brazil

Feb 26,2025

Para calcular \( \sen(2a) \) e \( \cos(2a) \), utilizamos as fórmulas de duplicação: \[ \sen(2a) = 2 \sen(a) \cos(a) \] \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sen^2(a) \] Sabemos que \( \sen(a) = \frac{2 \sqrt{2}}{3} \). Agora, precisamos calcular \( \cos(a) \). Utilizando a identidade pitagórica: \[ \cos^2(a) + \sen^2(a) = 1 \] Substituindo \( \sen(a) \): \[ \cos^2(a) + \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 = 1 \] \[ \cos^2(a) + \frac{8}{9} = 1 \] \[ \cos^2(a) = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9} \] Assim, temos \( \cos(a) = \pm \frac{1}{3} \). No intervalo \( \left( \frac{\pi}{2}, \pi \right) \), \( \cos(a) \) é negativo: \[ \cos(a) = -\frac{1}{3} \] Agora podemos calcular \( \sen(2a) \): \[ \sen(2a) = 2 \cdot \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right) \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{4 \sqrt{2}}{9} \] E agora \( \cos(2a) \): \[ \cos(2a) = \cos^2(a) - \sen^2(a) = \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - \left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)^2 \] Calculando: \[ \cos(2a) = \frac{1}{9} - \frac{8}{9} = -\frac{7}{9} \] Portanto, os resultados finais são: \[ \sen(2a) = -\frac{4 \sqrt{2}}{9} \quad \text{e} \quad \cos(2a) = -\frac{7}{9} \]