12. Traccia la tangente a una circonferenza di centro $$ O $$ in un suo punto $$ P $$. Considera su tale tangente un punto $$ Q $$ e indica: con $$ R $$ il punto in cui il segmento $$ O Q $$ incontra la circonferenza; - con $$ H $$ la proiezione di $$ P $$ su $$ O Q $$. Dimostra che la semiretta $$ P R $$ è la bisettrice dell'angolo $$ Q \widehat{P} H $$. (Suggerimento: i due angoli in cui $$ P R $$ divide l'angolo $$ Q \widehat{P} H $$ sono complementari di angoli congruenti.)

Question

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Per dimostrare che la semiretta $$ P R $$ è la bisettrice dell'angolo $$ Q \widehat{P} H $$, seguiamo i seguenti passi:

1. **Definizione dei punti e delle linee**:
   - Sia $$ O $$ il centro della circonferenza e $$ P $$ un punto sulla circonferenza.
   - La tangente alla circonferenza in $$ P $$ è perpendicolare al raggio $$ OP $$.
   - Sia $$ Q $$ un punto sulla tangente in $$ P $$.
   - Sia $$ R $$ il punto in cui il segmento $$ OQ $$ incontra la circonferenza.
   - Sia $$ H $$ la proiezione di $$ P $$ su $$ OQ $$.

2. **Analisi degli angoli**:
   - Consideriamo l'angolo $$ Q \widehat{P} H $$.
   - La semiretta $$ P R $$ divide l'angolo $$ Q \widehat{P} H $$ in due angoli: $$ \angle QPH $$ e $$ \angle RPH $$.

3. **Dimostrazione della congruenza degli angoli**:
   - Poiché $$ OP $$ è un raggio della circonferenza e $$ PQ $$ è la tangente, abbiamo che $$ \angle OPQ = 90^\circ $$.
   - Inoltre, poiché $$ H $$ è la proiezione di $$ P $$ su $$ OQ $$, l'angolo $$ \angle PHQ $$ è un angolo retto, quindi $$ \angle PHQ = 90^\circ $$.

4. **Relazione tra gli angoli**:
   - Consideriamo ora i triangoli $$ OPH $$ e $$ OQR $$:
     - Nel triangolo $$ OPH $$, abbiamo $$ \angle OPH + \angle PHQ = 90^\circ $$.
     - Nel triangolo $$ OQR $$, poiché $$ R $$ è sulla circonferenza, $$ \angle OQR = \angle OPQ = 90^\circ $$.

5. **Conclusione**:
   - Dato che $$ \angle OPH + \angle PHQ = 90^\circ $$ e $$ \angle OQR = 90^\circ $$, possiamo concludere che $$ \angle QPH $$ e $$ \angle RPH $$ sono angoli complementari e congruenti.
   - Pertanto, la semiretta $$ P R $$ è la bisettrice dell'angolo $$ Q \widehat{P} H $$.

In sintesi, abbiamo dimostrato che la semiretta $$ P R $$ divide l'angolo $$ Q \widehat{P} H $$ in due angoli congruenti, confermando che è la bisettrice dell'angolo.
La semiretta $$ P R $$ è la bisettrice dell'angolo $$ Q \widehat{P} H $$ perché divide l'angolo in due angoli congruenti e complementari.

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