as Determina per quali valori di \( k \) la retta di equazio- ne \( (k-2) x-2 y+1=0 \) : a. passa per il punto \( P(1,-1) \); b. è parallela all'asse \( x \); c. è parallela all'asse \( y \); d. è parallela alla retta di equazione \( y=-2 x \); e. è perpendicolare alla retta di equazione \( x+y+3=0 \). \[ \begin{array}{r}\text { [a. } k=-1 ; b . k=2 ; \text { c. impossibile; } \\ \text { d. } k=-2 ; \text { e. } k=4]\end{array} \]

Per risolvere il problema, analizziamo ciascun punto richiesto separatamente. ### a. Passa per il punto \( P(1,-1) \) La retta ha l'equazione \( (k-2)x - 2y + 1 = 0 \). Per determinare se passa per il punto \( P(1, -1) \), sostituiamo \( x = 1 \) e \( y = -1 \) nell'equazione: \[ (k-2)(1) - 2(-1) + 1 = 0 \] Semplificando: \[ k - 2 + 2 + 1 = 0 \implies k + 1 = 0 \implies k = -1 \] ### b. È parallela all'asse \( x \) Una retta è parallela all'asse \( x \) se ha una pendenza di \( 0 \). L'equazione della retta può essere scritta nella forma \( y = mx + q \). Dalla forma originale, possiamo isolare \( y \): \[ -2y = -(k-2)x - 1 \implies y = \frac{k-2}{2}x + \frac{1}{2} \] Affinché la retta sia parallela all'asse \( x \), la pendenza \( m \) deve essere \( 0 \): \[ \frac{k-2}{2} = 0 \implies k - 2 = 0 \implies k = 2 \] ### c. È parallela all'asse \( y \) Una retta è parallela all'asse \( y \) se è verticale, il che significa che non può essere espressa in forma \( y = mx + q \). L'equazione della retta non può essere verticale se ha una forma lineare. Quindi, per questa condizione, non ci sono valori di \( k \) che soddisfano questa richiesta. ### d. È parallela alla retta di equazione \( y = -2x \) La retta \( y = -2x \) ha una pendenza di \( -2 \). Dalla nostra equazione, abbiamo: \[ \frac{k-2}{2} = -2 \] Risolvendo per \( k \): \[ k - 2 = -4 \implies k = -2 \] ### e. È perpendicolare alla retta di equazione \( x + y + 3 = 0 \) La retta \( x + y + 3 = 0 \) può essere riscritta come \( y = -x - 3 \), quindi ha una pendenza di \( -1 \). Due rette sono perpendicolari se il prodotto delle loro pendenze è \( -1 \). Quindi, abbiamo: \[ \frac{k-2}{2} \cdot (-1) = -1 \] Risolvendo: \[ -(k-2) = -2 \implies k - 2 = 2 \implies k = 4 \] ### Risultati finali Riassumendo i risultati: - a. \( k = -1 \) - b. \( k = 2 \) - c. impossibile - d. \( k = -2 \) - e. \( k = 4 \) Quindi, i valori di \( k \) sono: \[ \begin{array}{r} \text{[a. } k=-1 ; b. k=2 ; \text{ c. impossibile; } \\ \text{ d. } k=-2 ; \text{ e. } k=4] \end{array} \]