11 순환소수 \( 0 . \dot{7} \) 의 역수를 \( a, 1 . \dot{6} \) 의 역수를 \( b \) 라 할 때, \( a b \) 값을 분수로 나타내시오.

1. 순환소수 \( 0.\dot{7} \)를 유리수로 나타내겠습니다. 순환소수 \( 0.\dot{7} \)는 \( 0.7777\ldots \) 이며, 이를 분수로 표현하면 \[ 0.\dot{7} = \frac{7}{9} \] 입니다. 2. \( 0.\dot{7} \)의 역수를 \( a \)라 하면, \[ a = \frac{1}{0.\dot{7}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7} \] 입니다. 3. 이제 \( 1.\dot{6} \)를 유리수로 나타내겠습니다. \( 1.\dot{6} \)은 \( 1.6666\ldots \) 이며, 이는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. 먼저, \( x = 1.\dot{6} \)라고 두면, \[ x = 1.6666\ldots \] 소수 부분만 고려하면 \( 0.\dot{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)이므로, \[ x = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \] 입니다. 4. \( 1.\dot{6} \)의 역수를 \( b \)라 하면, \[ b = \frac{1}{1.\dot{6}} = \frac{1}{\frac{5}{3}} = \frac{3}{5} \] 입니다. 5. 최종적으로 \( a \)와 \( b \)의 곱은 \[ ab = \frac{9}{7} \times \frac{3}{5} = \frac{27}{35} \] 입니다. 따라서, \( ab \)의 값을 분수로 나타내면 \(\frac{27}{35}\)입니다.