(c) Calcolare rango e tipo di \( \mathscr{C} \). Esercizio 6. Si consideri la curva algebrica: \[ \mathscr{C}: x(x-2 y) y-x^{2}+y^{2}=0 \] (a) Trovare la chiusura proiettiva di \( \mathscr{C} \). (b) Trovare i punti impropri di \( \mathscr{C} \). (c) Trovare i punti singolari di \( \mathscr{C} \). (d) Trovare gli asintoti di \( \mathscr{C} \). (e) Calcolare la molteplicità di intersezione tra \( \mathscr{C} \) e l'asse \( x \) nell'origine. (f) Calcolare tutte le rette tangenti nell'origine a \( \mathscr{C} \).

Iniziamo a risolvere il problema passo dopo passo. ### (c) Calcolare rango e tipo di \( \mathscr{C} \) La curva algebrica è data da: \[ \mathscr{C}: x(x-2y)y - x^2 + y^2 = 0 \] #### Passo 1: Calcolare il rango Per calcolare il rango della curva, dobbiamo considerare il polinomio che definisce la curva e le sue derivate parziali. Iniziamo calcolando le derivate parziali rispetto a \( x \) e \( y \). Definiamo: \[ f(x, y) = x(x - 2y)y - x^2 + y^2 \] Calcoliamo le derivate parziali: \[ \frac{\partial f}{\partial x} = (x - 2y)y + x \cdot y - 2x = (x - 2y)y - 2x \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x(x - 2y) - 2y \] #### Passo 2: Valutare il rango Il rango della curva è dato dal numero massimo di derivate lineari indipendenti. Dobbiamo valutare il sistema di equazioni dato da \( f(x, y) = 0 \) e le sue derivate parziali. Consideriamo il sistema: \[ \begin{cases} f(x, y) = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial x} = 0 \\ \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \end{cases} \] Ora, calcoliamo il rango del sistema. Per farlo, dobbiamo risolvere il sistema di equazioni. #### Passo 3: Risolvere il sistema di equazioni Utilizziamo il metodo di eliminazione per trovare il rango. Iniziamo a calcolare il rango del sistema di equazioni. \[ \begin{cases} x(x - 2y)y - x^2 + y^2 = 0 \\ (x - 2y)y - 2x = 0 \\ x(x - 2y) - 2y = 0 \end{cases} \] Utilizziamo il tool per risolvere il sistema di equazioni. ### Calcolo del rango e tipo Procediamo a calcolare il rango e il tipo della curva. Utilizzeremo il tool per risolvere il sistema di equazioni. ```json { "equations": "x(x - 2y)y - x^2 + y^2 = 0; (x - 2y)y - 2x = 0; x(x - 2y) - 2y = 0", "use_method": "all" } ``` Solve the system of equations by following steps: - step0: Solve using the substitution method: \(\left\{ \begin{array}{l}x\left(x-2y\right)y-x^{2}+y^{2}=0\\\left(x-2y\right)y-2x=0\\x\left(x-2y\right)-2y=0\end{array}\right.\) - step1: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left(x-2y\right)-x^{2}+y^{2}=0\\y\left(x-2y\right)-2x=0\\x\left(x-2y\right)-2y=0\end{array}\right.\) - step2: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}xy\left(x-2y\right)-x^{2}+y^{2}=0\\x=\frac{2y^{2}}{y-2}\\x\left(x-2y\right)-2y=0\end{array}\right.\) - step3: Substitute the value of \(x:\) \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{2y^{2}}{y-2}\times y\left(\frac{2y^{2}}{y-2}-2y\right)-\left(\frac{2y^{2}}{y-2}\right)^{2}+y^{2}=0\\\frac{2y^{2}}{y-2}\times \left(\frac{2y^{2}}{y-2}-2y\right)-2y=0\end{array}\right.\) - step4: Simplify: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{5y^{4}-4y^{3}+4y^{2}}{\left(y-2\right)^{2}}=0\\\frac{6y^{3}+8y^{2}-8y}{\left(y-2\right)^{2}}=0\end{array}\right.\) - step5: Solve the equation: \(\left\{ \begin{array}{l}y=0\\\frac{6y^{3}+8y^{2}-8y}{\left(y-2\right)^{2}}=0\end{array}\right.\) - step6: Substitute the value of \(y:\) \(\frac{6\times 0^{3}+8\times 0^{2}-8\times 0}{\left(0-2\right)^{2}}=0\) - step7: Simplify: \(0=0\) - step8: Substitute the value of \(y:\) \(x=\frac{2\times 0^{2}}{0-2}\) - step9: Simplify: \(x=0\) - step10: Calculate: \(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\) - step11: Check the solution: \(\left\{ \begin{array}{l}x=0\\y=0\end{array}\right.\) - step12: Rewrite: \(\left(x,y\right) = \left(0,0\right)\) Abbiamo risolto il sistema di equazioni e trovato il punto \( (x, y) = (0, 0) \) come unica soluzione. ### Rango e Tipo della Curva 1. **Rango**: Il rango della curva \( \mathscr{C} \) è 1, poiché abbiamo una sola equazione che definisce la curva e una sola soluzione per il sistema di equazioni. 2. **Tipo**: Poiché il rango è 1, la curva è di tipo **algebrico**. ### Riepilogo della Risposta (c) - **Rango**: 1 - **Tipo**: Algebrico Se hai bisogno di ulteriori chiarimenti o di passare ad un'altra parte dell'esercizio, fammelo sapere!