28 Dans le plan muni d'un repère orthonormé $$ (O, I, J) $$ (unité graphique 1 cm$$ ) $$, on donne les points $$ P(O ;-3), Q(-3 ; 6) $$ et $$ R(5 ; 2) $$. 1. Place les points $$ P, Q $$ et $$ R $$ dans le plan muni du repère $$ (O, I, J) $$. 2. Démontre que les points $$ P, Q $$ et $$ R $$ sont non alignés. 3. La hauteur du triangle $$ P Q R $$ issue du sommet $$ P $$ coupe $$ (Q R) $$ en $$ A $$ et la hauteur issue du sommet $$ Q $$ coupe (PR) en $$ B $$. a) Détermine une équation des droites (AP) et (BQ). b)Détermine lescoordonnées du point Horthocentre du triangle $$ P Q R $$.

Question

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1. On a  
 $$ P=(0,-3) $$,  
 $$ Q=(-3,6) $$ et  
 $$ R=(5,2) $$.  
Pour les placer, il suffit de marquer ces points dans le repère orthonormé.

2. Pour démontrer que les points ne sont pas alignés, on peut calculer l’aire du triangle $$PQR$$ à l’aide de la formule :  
$$
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|x_P(y_Q-y_R)+x_Q(y_R-y_P)+x_R(y_P-y_Q)\right|
$$
En remplaçant par les coordonnées, on obtient :
$$
\mathcal{A}=\frac{1}{2}\left|0\,(6-2)+(-3)\,(2-(-3))+5\,(-3-6)\right|
$$
$$
=\frac{1}{2}\left|0 + (-3)\times5 + 5\times(-9)\right|
$$
$$
=\frac{1}{2}\left|0 -15 -45\right|=\frac{1}{2}\times60=30.
$$
Comme l’aire est non nulle ($$30\neq 0$$), les points $$P$$, $$Q$$ et $$R$$ ne sont pas alignés.

3.  
 a) Détermination des équations des droites $$ (AP) $$ et $$ (BQ) $$ :

- La hauteur issue de $$P$$ est perpendiculaire à la droite $$(QR)$$.  
   Pour la droite $$(QR)$$ passant par $$Q=(-3,6)$$ et $$R=(5,2)$$, la pente est  
   $$
m_{QR}=\frac{2-6}{5-(-3)}=\frac{-4}{8}=-\frac{1}{2}.
$$
   La pente de la droite perpendiculaire à $$(QR)$$ est l’opposé de l’inverse, soit  
   $$
m_{AP}=2.
$$
   La droite passant par $$P=(0,-3)$$ de pente $$2$$ a pour équation :  
   $$
y-(-3)=2(x-0) \quad \Longrightarrow \quad y=2x-3.
$$

- La hauteur issue de $$Q$$ est perpendiculaire à la droite $$(PR)$$.  
   Pour la droite $$(PR)$$ passant par $$P=(0,-3)$$ et $$R=(5,2)$$, la pente est  
   $$
m_{PR}=\frac{2-(-3)}{5-0}=\frac{5}{5}=1.
$$
   La pente de la droite perpendiculaire à $$(PR)$$ est  
   $$
m_{BQ}=-1.
$$
   La droite passant par $$Q=(-3,6)$$ de pente $$-1$$ a pour équation :  
   $$
y-6=-1(x+3) \quad \Longrightarrow \quad y=-x+3.
$$

b) Le point orthocentre $$H$$ est le point d’intersection des hauteurs, donc il faut résoudre le système :
$$
\begin{cases}
y=2x-3\[1mm]
y=-x+3
\end{cases}
$$
En égalant les deux expressions pour $$y$$ :
$$
2x-3=-x+3\quad \Longrightarrow\quad 2x+x=3+3\quad \Longrightarrow\quad 3x=6,
$$
d'où
$$
x=2.
$$
Ensuite,
$$
y=2(2)-3=4-3=1.
$$
Ainsi, l’orthocentre du triangle $$PQR$$ est  
$$
H=(2,1).
$$
1. Place les points $$ P(0, -3) $$, $$ Q(-3, 6) $$, et $$ R(5, 2) $$ dans le repère $$ (O, I, J) $$. 2. Les points $$ P $$, $$ Q $$, et $$ R $$ ne sont pas alignés car l'aire du triangle $$ PQR $$ est 30, qui est différente de zéro. 3. a) Équations des droites : - $$ (AP) : y = 2x - 3 $$ - $$ (BQ) : y = -x + 3 $$ b) Coordonnées de l'orthocentre $$ H $$ : $$ (2, 1) $$.

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