4) \( 6 x^{2}+24 x+1 \)

Dada la expresión   6x² + 24x + 1 podemos trabajarla de distintas maneras. A continuación se muestran dos procedimientos útiles. 1. Completar el cuadrado: Primero se extrae el factor común del término cuadrático y el lineal:   6x² + 24x + 1 = 6(x² + 4x) + 1 Ahora, completamos el cuadrado dentro del paréntesis. Recordamos que   x² + 4x = (x + 2)² – 4, pues (x + 2)² = x² + 4x + 4. Así, sustituimos:   6(x² + 4x) + 1 = 6[(x + 2)² – 4] + 1 = 6(x + 2)² – 24 + 1 = 6(x + 2)² – 23 Por lo tanto, la expresión puede escribirse en forma canónica como:   6(x + 2)² – 23 2. Resolver la ecuación 6x² + 24x + 1 = 0 (encontrar las raíces): Utilizando la fórmula general (fórmula cuadrática) para ax² + bx + c = 0,   x = (–b ± √(b² – 4ac)) / (2a) con a = 6, b = 24 y c = 1, tenemos: Paso 1. Calcular el discriminante:   Δ = 24² – 4·6·1 = 576 – 24 = 552 Observamos que 552 = 4·138, por lo que:   √Δ = √(4·138) = 2√138 Paso 2. Sustituir en la fórmula:   x = (–24 ± 2√138) / (2·6) = (–24 ± 2√138) / 12 Simplificando dividiendo el numerador y el denominador entre 2:   x = (–12 ± √138) / 6 Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son:   x = (–12 + √138) / 6  y  x = (–12 – √138) / 6 Resumen: • Forma canónica: 6(x + 2)² – 23 • Raíces de la ecuación 6x² + 24x + 1 = 0: x = (–12 ± √138) / 6