(a) Represente la función que pasa por el punto \( P(2,-3) \) y es paralela a la recta de ecuación \( y=-x+7 \). Encuentre el dominio y el rango de función encontrada. (b) Represente la función que pasa por el punto \( P(2,-3) \) y es perpen- dicular a la recta de ecuación \( y=-x+7 \). Encuentre el dominio y el rango de función encontrada. Sugerencia: Consulte [SRW15, sección 1.10, pág 106]

Se le pide hallar funciones lineales (ecuaciones de rectas) que satisfagan ciertas condiciones y determinar sus respectivos dominios y rangos. ───────────────────────────── (a) Función paralela a y = -x + 7 que pasa por el punto P(2, –3). • La pendiente de la recta dada es m = –1. • Una recta paralela tendrá la misma pendiente, por lo que m = –1. Utilizando la forma punto-pendiente:   y – y₁ = m (x – x₁) Sustituyendo P(2, –3) y m = –1:   y – (–3) = –1 (x – 2)  ⟹  y + 3 = –(x – 2) Distribuyendo el signo:   y + 3 = –x + 2 Despejando y:   y = –x + 2 – 3  ⟹  y = –x – 1 Por lo tanto, la ecuación de la recta es:   y = –x – 1 El dominio y el rango de cualquier función lineal de la forma y = mx + b (con m ≠ 0) son ambos el conjunto de todos los números reales. Así:   Dominio: ℝ   Rango: ℝ ───────────────────────────── (b) Función perpendicular a y = -x + 7 que pasa por el punto P(2, –3). • La pendiente de la recta dada es m₁ = –1. • La pendiente de la recta perpendicular se obtiene como m₂, de modo que m₁ · m₂ = –1.   –1 · m₂ = –1  ⟹  m₂ = 1 Utilizando nuevamente la forma punto-pendiente:   y – y₁ = m (x – x₁) Sustituyendo P(2, –3) y m = 1:   y + 3 = 1 (x – 2)  ⟹  y + 3 = x – 2 Despejando y:   y = x – 2 – 3  ⟹  y = x – 5 Por lo tanto, la ecuación de la recta es:   y = x – 5 Nuevamente, al tratarse de una función lineal, su dominio y rango son todos los números reales:   Dominio: ℝ   Rango: ℝ ───────────────────────────── Resumen de la respuesta: (a) La función que pasa por P(2, –3) y es paralela a y = –x + 7 es   y = –x – 1   Dominio: ℝ; Rango: ℝ (b) La función que pasa por P(2, –3) y es perpendicular a y = –x + 7 es   y = x – 5   Dominio: ℝ; Rango: ℝ