\begin{tabular}{l|l} & Exercice 2:(5 pts) \\ \cline { 2 - 3 } (0.5) & 1. Vérifiez que -2 est une racine du polynome \( P(x) \) \\ (2) & 2. En effectuant la division euclidienne de \( P(x) \) par \( x+2 \) \\ & Déterminez un polynome \( Q(x) \) tel que \( P(x)=(x+2) Q(x) \) \\ (0.5) & 3. Vérifiez que \( \frac{-1}{2} \) est une racine du polynome \( Q(x) \) \\ (2) & 4. Factoriser \( Q(x) \) puis \( P(x) . \quad \) Résoudre \( x \in \mathbb{R} \quad P(x) \leq 0 \)\end{tabular}

On vous propose de travailler sur le polynôme   P(x) = 2x³ + 11x² + 17x + 6, qui admet les propriétés demandées dans l’énoncé. En effet, on montrera que –2 est racine de P(x) et que, si l’on pose Q(x) = P(x)/(x + 2), alors –½ est racine de Q(x), et l’on factorisera complètement P(x) pour résoudre l’inéquation P(x) ≤ 0. ───────────────────────────── 1) Vérifier que –2 est racine de P(x) Calculons P(–2) :  P(–2) = 2(–2)³ + 11(–2)² + 17(–2) + 6      = 2(–8) + 11·4 – 34 + 6      = –16 + 44 – 34 + 6      = (–16 + 44) + (–34 + 6)      = 28 – 28 = 0. Donc, –2 est bien racine de P(x). ───────────────────────────── 2) Division euclidienne de P(x) par (x + 2) pour déterminer Q(x) Puisque –2 est racine de P(x), le facteur (x + 2) divise P(x). On peut donc écrire   P(x) = (x + 2) · Q(x), où Q(x) est un polynôme de degré 2. Procédons à la division (par exemple, par la méthode de la division synthétique ou la mise en forme classique). Méthode de la division synthétique avec –2 :  Les coefficients de P(x) sont : 2 11 17 6.  – On écrit –2 à gauche puis on descend le 2.  – Multiplier 2 par –2 donne –4 ; on ajoute à 11 pour obtenir 7.  – Multiplier 7 par –2 donne –14 ; on ajoute à 17 pour obtenir 3.  – Multiplier 3 par –2 donne –6 ; on ajoute à 6 pour obtenir 0. On obtient ainsi :   Q(x) = 2x² + 7x + 3. ───────────────────────────── 3) Vérifier que –½ est racine de Q(x) Calculons Q(–½) :  Q(–½) = 2(–½)² + 7(–½) + 3.    – (–½)² = ¼, donc 2×¼ = ½.    – 7(–½) = –3.5 (ou –7/2). Ainsi,   Q(–½) = 0.5 – 3.5 + 3 = (0.5 + 3) – 3.5 = 3.5 – 3.5 = 0. Donc, –½ est bien racine de Q(x). ───────────────────────────── 4) Factoriser Q(x) puis P(x) et résoudre l’inéquation P(x) ≤ 0 • Factorisation de Q(x) : Nous avons Q(x) = 2x² + 7x + 3. Cherchons deux nombres dont le produit vaut 2×3 = 6 et dont la somme vaut 7. On remarque que 6 et 1 conviennent :  6 × 1 = 6 et 6 + 1 = 7. On peut alors écrire :  2x² + 7x + 3 = 2x² + 6x + x + 3   = 2x(x + 3) + 1(x + 3)   = (x + 3)(2x + 1). Ainsi, la factorisation de Q(x) est :   Q(x) = (2x + 1)(x + 3). • Factorisation de P(x) : Rappelons que P(x) = (x + 2) · Q(x), donc en utilisant la factorisation de Q(x) :   P(x) = (x + 2)(2x + 1)(x + 3). • Étude du signe de P(x) et résolution de l’inéquation P(x) ≤ 0 : Les racines de P(x) sont les solutions de :   x + 2 = 0 ⟹ x = –2,   2x + 1 = 0 ⟹ x = –½,   x + 3 = 0 ⟹ x = –3. Il est pratique de ranger ces racines par ordre croissant :   –3, –2, –½. Le polynôme P(x) est de degré 3 et son coefficient dominant est 2 (strictement positif). On en déduit que :   • Pour x → +∞, P(x) > 0.   • Pour x → –∞, P(x) tend vers –∞ (puisque le degré est impair). Construisons le tableau de signes en tenant compte des trois facteurs :  Facteurs :  (x + 3)  (x + 2)  (2x + 1)  Zéros :   –3    –2    –½ Choisissons un point test dans chaque intervalle : 1. Pour x < –3, par exemple x = –4 :   x + 3 = –4 + 3 = –1 (négatif)   x + 2 = –4 + 2 = –2 (négatif)   2x + 1 = 2(–4) + 1 = –8 + 1 = –7 (négatif)   Leur produit : (–)×(–)×(–) = – ⇒ P(x) < 0. 2. Pour –3 < x < –