(3) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct ( \( 0 ; \vec{u}, \vec{v} \) ), on considère les points \( A \), \( B, C \) et \( D \) d'affixes respectives: \[ z_{A}=-3-2 i ; z_{B}=5+2 i ; z_{C}=2-2 i \text { et } z_{D}=2 i \] a) Utiliser une a) Faire une figure. b) Déterminer les affixes des vecteurs \( \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{D B} \) calculs. Obtie et \( \overrightarrow{A D} \). c) Calculer les longueurs AC et AD. d) Préciser les égalités qui permettent d'affirmer que \( A D B C \) est un losange. 26 Pour chaq

\[ \textbf{Données : } z_{A} = -3 - 2i,\quad z_{B} = 5 + 2i,\quad z_{C} = 2 - 2i,\quad z_{D} = 2i \] --- **a) Représentation graphique** Placer les points dans le plan complexe : - \( A(-3,-2) \) d'affixe \( -3-2i \) - \( B(5,2) \) d'affixe \( 5+2i \) - \( C(2,-2) \) d'affixe \( 2-2i \) - \( D(0,2) \) d'affixe \( 2i \) On peut esquisser le quadrilatère en reliant les points dans l'ordre indiqué pour étudier le losange \( ADB C \) (l'ordre des sommets est \( A \), \( D \), \( B \), \( C \)). --- **b) Calculs des affixes des vecteurs** 1. **Vecteur \(\overrightarrow{AC}\) :** \[ \text{Affixe de } \overrightarrow{AC} = z_{C} - z_{A} = (2 - 2i) - (-3 - 2i) = 2 + 3 = 5. \] Ainsi, \( \overrightarrow{AC} \) a pour affixe \( 5 \) (c'est un vecteur réel positif). 2. **Vecteur \(\overrightarrow{DB}\) :** \[ \text{Affixe de } \overrightarrow{DB} = z_{B} - z_{D} = (5 + 2i) - (2i) = 5. \] Donc, \( \overrightarrow{DB} \) a pour affixe \( 5 \) également. 3. **Vecteur \(\overrightarrow{AD}\) :** \[ \text{Affixe de } \overrightarrow{AD} = z_{D} - z_{A} = (2i) - (-3 - 2i) = 3 + 4i. \] --- **c) Calcul des longueurs \( AC \) et \( AD \)** 1. **Longueur de \( AC \) :** \[ AC = |\overrightarrow{AC}| = |5| = 5. \] 2. **Longueur de \( AD \) :** \[ AD = |\overrightarrow{AD}| = |3+4i| = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5. \] --- **d) Vérification que \( ADB C \) est un losange** Pour qu’un quadrilatère soit un losange, il faut que les quatre côtés soient de même longueur. Nous avons déjà : - \( AD = 5 \) - \( DB = |\overrightarrow{DB}| = 5 \) Il reste à vérifier les deux autres côtés : 1. **Côté \( BC \) :** \[ \overrightarrow{BC} = z_{C} - z_{B} = (2 - 2i) - (5 + 2i) = -3 - 4i \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9+16} = 5. \] 2. **Côté \( CA \) :** \[ \overrightarrow{CA} = z_{A} - z_{C} = (-3 - 2i) - (2 - 2i) = -5. \] \[ |\overrightarrow{CA}| = | -5 | = 5. \] On a donc : \[ |\overrightarrow{AD}| = |\overrightarrow{DB}| = |\overrightarrow{BC}| = |\overrightarrow{CA}| = 5. \] Ces égalités démontrent que tous les côtés du quadrilatère \( ADB C \) sont égaux en longueur, ce qui confirme que c’est un losange.