12. Calcule o número de soluções mutuamente incongruentes de cada uma das seguintes congruências lineares: a) \( 4 x \equiv 8(\bmod .15) \) b) \( 15 x \equiv 9(\bmod .18) \) c) \( 6 x=12(\bmod .15) \)
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Para resolver as congruências e determinar o número de soluções mutuamente incongruentes, primeiramente precisamos simplificar cada uma delas. a) \( 4 x \equiv 8 (\bmod .15) \): Dividindo os dois lados da congruência por 4, obtemos \( x \equiv 2 (\bmod .15) \). Portanto, essa congruência tem uma única solução, que é \( x = 2 + 15k \), onde \( k \) é um inteiro. b) \( 15 x \equiv 9 (\bmod .18) \): Dividindo ambos os lados por 3, obtemos \( 5 x \equiv 3 (\bmod .18) \). Agora, precisamos, ainda assim, encontrar a inversa de 5: \( 5y \equiv 1 (\bmod .18) \). A solução da congruência \( 5 x \equiv 3 \) também terá as mesmas 3 soluções que são obtidas considerando \( x \) em \( [0, 2] \). c) \( 6 x \equiv 12 (\bmod .15) \): Dividindo por 3, temos \( 2 x \equiv 4 (\bmod .15) \). Isso equivale a \( x \equiv 2 (\bmod .15)\). Portanto, essa também possui uma única solução. Resumindo: a) Uma solução. b) Três soluções. c) Uma solução.
