Si se tiene la integral $$ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+25}} $$ ¿al emplear el método d sustitución trigonométrica la raíz corresponde a? o a. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \cos heta $$ ob. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 an heta $$ 8. c. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \sec heta $$ o. d. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \sec ^{2} heta $$

Question

Si se tiene la integral $$ \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+25}} $$ ¿al emplear el método d sustitución trigonométrica la raíz corresponde a? o a. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \cos 	heta $$ ob. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 	an 	heta $$ 8. c. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \sec 	heta $$ o. d. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \sec ^{2} 	heta $$

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1. Identificamos el tipo de integral:  
   $$
   \int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+25}}
   $$  
   La expresión bajo la raíz tiene la forma $$x^2 + a^2$$ con $$a^2 = 25$$, lo que nos indica que se debe usar la sustitución trigonométrica  
   $$
   x = a \tan\theta \quad \text{o sea} \quad x = 5 \tan\theta.
   $$

2. Con esta sustitución, tenemos:
   $$
   \sqrt{x^2+25} = \sqrt{25\tan^2\theta+25} = \sqrt{25(\tan^2\theta+1)}.
   $$

3. Utilizando la identidad trigonométrica:
   $$
   \tan^2\theta+1=\sec^2\theta,
   $$
   obtenemos:
   $$
   \sqrt{x^2+25}= \sqrt{25\sec^2\theta} = 5\sec\theta.
   $$

Por lo tanto, la respuesta correcta es:

c. $$ \sqrt{x^{2}+25}=5 \sec \theta $$
La raíz en la integral $$ \sqrt{x^{2}+25} $$ se simplifica a $$ 5 \sec \theta $$ utilizando la sustitución trigonométrica $$ x = 5 \tan \theta $$.

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